Esercizi sui gruppi

[doppio]

Ciao! Per il 2.b: la cardinalità del centralizzante di un elemento è uguale all'ordine del gruppo diviso il numero di elementi nella classe di coniugio dell'elemento.
Per il 3.a: tieni conto che, se un gruppo è ciclico, basta determinare l'immagine di un suo generatore per determinare completamente l'omeomorfismo. Prova a pensare che cosa succede se \( \displaystyle {k} \) è primo con 30, e altrimenti. Automorfismo significa che è pure suriettivo, e ce ne sono di non suriettivi...
3.b quindi devi cercare quegli elementi di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{20} \) il cui ordine divida 30, ce ne sono altri oltre a quelli che hai scritto.
3.c cerca il numero dei sottogruppi di G (chiamalo n). I sottogruppi di quel prodotto dovrebbero essere \( \displaystyle {{n}}^{{2}} \). Bye , spero di non avere detto idiozie

EDIT: @j18eos: nel 3.c consideriamo, ad esempio, \( \displaystyle {C}_{{6}}\times{C}_{{1}} \) e \( \displaystyle {C}_{{3}}\times{C}_{{2}} \) la stessa cosa?

[AlyAly]

Ciao! Per il 2.b quindi se ho fatto bene i calcoli per il numero di elementi della classe di coniugio, il centralizzante dovrebbe avere 8 elementi...e se dovessi scrivere quali sono questi elementi come devo fare?
Per il 3.a direi che se \( \displaystyle {k} \) è primo con 30, \( \displaystyle {{g}}^{{k}} \) è un generatore di \( \displaystyle {G} \) quindi ho \( \displaystyle \phi{\left({30}\right)}={8} \) omomorfismi......ma come devo fare per trovare quelli suriettivi?
3.b Ah sì? e come li trovo?
3.c ok, direi che è chiaro

[doppio]

2.b c'è un pochino di confusione, perché io li ho sempre moltiplicati a partire da destra. xD Comunque, il succo del discorso resta tale. Poniamo di avere la permutazione \( \displaystyle {\left({1}{2}{3}{4}\right)}{\left({5}{6}\right)} \). Sicuramente lei commuta con elementi del tipo \( \displaystyle {{\left({1234}\right)}}^{{k}}{{\left({56}\right)}}^{{j}} \). Ma allora abbiamo almeno 8 elementi che commutano con lei, che sono precisamente quelli che cercavamo.
3.a se k non è primo con 30, trovi omomorfismi non suriettivi. Gli automorfismi sono proprio quando k è primo con 30.
3.b uhm allora in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{20} \) tutte le classi pari hanno ordine che divide 10, e dunque che divide 30. Tra i dispari non primi con 20, ci sono solo i multipli di 5, entrambi con ordine 4, che non divide 30. Quindi... può essrvi un omomorfismo suriettivo?

[AlyAly]

2.b ok, perfeeto
3.a ma quindi stai dicendo che ci sono 30 omomorfismi possibili di cui 8 suriettivi?
3.b Mi sa che ho un pò di confusione in testa....come fai a dire che tutte le clasi pari hanno ordine che divide 10?Hai preso ogni elemento e hai calcolato " a mano" il periodo, cioè hai provato ad elevare a potenza finchè non trovavi il periodo? o hai usato un metodo più breve?

[doppio]

3.a Sì, qualcosa in contrario?
3.b Se prendi una qualche classe \( \displaystyle \overline{2k} \) e la sommi 10 volte ottieni \( \displaystyle \overline{\mbox{qualcosa}} \) che è multiplo di 20, e dunque è la classe di zero. Allora il suo ordine deve dividere 10. Per i dispari, se sono primi con 20 il loro ordine è automaticamente 20 che non divide 30, se è invece il contrario, abbiamo solo due casi, che si fanno a mano.

[AlyAly]

3.a Niente in contrario, volevo essere certa di aver capito bene
3.b ok, perfetto!
Per caso sai dirmi se il primo esercizio, quello che riguarda il centro, ti sembra giusto?

[doppio]

Vediamo... fissiamo \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}\in{Z}{\left({G}\right)} \). Dobbiamo avere \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}\cdot{\left({x},{y},{z}\right)}={\left({x},{y},{z}\right)}\cdot{\left({a},{b},{c}\right)}\forall{\left({x},{y},{z}\right)}\in{G} \). Ricaviamo, come hai detto tu, \( \displaystyle {a}{y}={x}{b}\forall{x},{y}\in{\mathbb{{{R}}}} \). Da qui scende che sia a che b devono essere zero, poiché altrimenti potremmo scegliere \( \displaystyle {x},{y} \) ad hoc in modo tale da non fare funzionare l'eguaglianza. Gli elementi del centro sono quindi quelli del tipo \( \displaystyle {\left({0},{0},{c}\right)} \). Si verifica che, effettivamente, loro stanno nel centro. Siccome il centro è sempre un sottogruppo normale, abbiamo pure un sottogruppo normale non banale. Spero che sia giusto

[j18eos]

...@j18eos: nel 3.c consideriamo, ad esempio, \( \displaystyle {C}_{{6}}\times{C}_{{1}} \) e \( \displaystyle {C}_{{3}}\times{C}_{{2}} \) la stessa cosa?

Non t'ho capito! Spiegati.

[doppio]

Intendevo \( \displaystyle {C}_{{6}}\times{C}_{{1}} \) come il sottogruppo di \( \displaystyle {G}\times{G} \) generato da \( \displaystyle {\left({a},{1}\right)} \), dove \( \displaystyle {a} \) è di ordine 6. Invece \( \displaystyle {C}_{{2}}\times{C}_{{3}} \) come il sottogruppo generato da \( \displaystyle {\left({a},{b}\right)} \), dove a è di ordine 2 e b di ordine 3.

[j18eos]

Sì, non vedo il bisogno di farmelo notare in quanto ho lasciato che li individuasse Alyaly.

Io accompagno nello svolgere gli esercizi e nei casi estremi li svolgo.

P.S.: Nel tuo primo intervento hai scritto omeomorfismo.