1) Sia \( \displaystyle {G} \) l'insieme \( \displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R} \) . Definiamo in \( \displaystyle {G} \) l'operazione
\( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}\cdot{\left({x},{y},{z}\right)}={\left({a}+{x},{b}+{y},{a}{y}+{c}+{z}\right)} \)
Calcolare il centro \( \displaystyle {Z}{\left({G}\right)} \) e trovare un sottogruppo normale non banale in \( \displaystyle {G} \)
Allora il centro è l'isieme degli elementi tali che \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)}\cdot{\left({x},{y},{z}\right)}={\left({x},{y},{z}\right)}\cdot{\left({a},{b},{c}\right)} \) quindi ho che
\( \displaystyle {\left({a}+{x},{b}+{y},{a}{y}+{c}+{z}\right)}={\left({a}+{x},{b}+{y},{x}{b}+{z}+{c}\right)} \) ovvero \( \displaystyle {x}{b}={a}{y} \)
che per \( \displaystyle {b}\ne{0} \) ho \( \displaystyle {x}=\frac{{{a}{y}}}{{b}} \) che non va bene come risultato, mentre per \( \displaystyle {b}={0} \) ho \( \displaystyle {y}={o} \) e quind il centro è dato da tutti gli elementi del tipo \( \displaystyle {\left({x},{0},{z}\right)} \)
2)Nel gruppo \( \displaystyle {S}{6} \) si considerino le permutazioni \( \displaystyle \sigma={\left({1654}\right)}{\left({46}\right)}{\left({253}\right)} \) e \( \displaystyle \pi={\left({16324}\right)}{\left({16452}\right)} \)
a)Dire se sono coniugate ed in caso affermativo scrivere un elemento esplicito \( \displaystyle {g} \) tale che \( \displaystyle {g{\pi}}{{g}}^{{-{{1}}}}=\sigma \)
Le permutazioni scritte in cicli disgiunti mi vengono \( \displaystyle \pi={\left({1326}\right)}{\left({45}\right)} \) e \( \displaystyle \sigma={\left({16}\right)}{\left({2453}\right)} \) che sono coniugate perchè hanno la stessa struttura ciclica...
e g mi viene \( \displaystyle {g{=}}{\left({125634}\right)} \)
b) Calcolare il numero di elementi che sono coniugati con \( \displaystyle \pi \) e calcolare il numero di elementi che commutano con \( \displaystyle \sigma \)
Il numero di elementi coniugati con \( \displaystyle \pi \) è \( \displaystyle \frac{{{6}!}}{{{\left({6}-{4}\right)}!{4}}}\times\frac{{{2}!}}{{2}}={90} \) , mentre il numero di elementi che commutano è dato dalla cardinalità del centralizzante se non sbaglio, però non so come calcolarlo...
3) Sia \( \displaystyle {G}=\lt{g{\gt}} \) un gruppo ciclico di ordine 30
a)Per ogni \( \displaystyle {k}\in\mathbb{Z} \) si consideri l'omomorfismo \( \displaystyle \phi:{G}\rightarrow{G} \) tale che \( \displaystyle \phi{\left({g}\right)}={{g}}^{{k}} \) . Quanti sono i \( \displaystyle \phi \) distinti? Quanti di questi sono automorfismi?
questo punto non so proprio come si debba fare ma gli omomorfismi da trovare non sono tutti automorfismi visto che sono \( \displaystyle {G}\rightarrow{G} \) ?
b)Dire quanti sono gli omomorfismi \( \displaystyle {G}\rightarrow\mathbb{Z}{20} \) . Ce ne sono di suriettivi?
Se non sbaglio l'immagine di \( \displaystyle {g} \) deve essere tra quegli elementi di \( \displaystyle \mathbb{Z}{20} \) il cui ordine è un divisore di 30, quindi 2,3,5,6,10,15,30...quindi le possibili immagini sono \( \displaystyle {\overline{{{2}}}},{\overline{{{4}}}},{\overline{{{10}}}} \) ... ma come devo fare per sapere quali omomorfismi sono suriettivi?
c) Quanti sono i sottogruppi del gruppo prodotto \( \displaystyle {G}\times{G} \) ?
Il sottogruppo \( \displaystyle {G}\times{G} \) ha 90 elementi, quindi per Lagrange tutti i possibili sottogruppi hanno l'ordine che divide 90...ma questo non garantisce l'esistenza di un sottogruppo per ogni divisore...come faccio a capire quali tra di questi sono ammissibili?
Mi potreste aiutare? Grazie mille in anticipo a tutti!
lo dico per non piangere! 
