Esercizi sul gruppo fondamentale

[studentessa CdLmate]

ho capito quella con la proiezione stereografica grazie grazie grazie ad entrambi se non capisco qualcos'altro tornerò a chiedere

[studentessa CdLmate]

1]Siano \( \displaystyle {P}_{{1}},{P}_{{2}},\ldots.,{P}_{{n}} \) punti distinti del Toro.
Trovare
il gruppo fondamentale di \( \displaystyle {X}={{S}}^{{1}}\times{{S}}^{{1}}-{\left\lbrace{P}_{{1}},\ldots,{P}_{{n}}\right\rbrace} \).

Se il punto è uno solo allora se \( \displaystyle {S} \) e \( \displaystyle {S}' \) sono due circonferenze ortogonali nel toro \( \displaystyle {T} \), \( \displaystyle {U}={T}-{S} \) e \( \displaystyle {U}'={T}-{S}' \) sono entrambi cilindri, quindi il loro gruppo fondamentale e' \( \displaystyle \mathbb{Z} \).
\( \displaystyle {U} \) unione \( \displaystyle {U}' \) e' proprio il toro meno un punto, \( \displaystyle {U}\cap{U}' \) e' \( \displaystyle {\left({0},{1}\right)}\times{\left({0},{1}\right)} \), quindi semplicemente connesso, quindi per Van-Kampen il gruppo fondamentale del toro meno un punto e' \( \displaystyle \mathbb{Z}\star\mathbb{Z} \).
Se i punti sono più di uno..ogni punto è intersezione di due circonferenze ortogonali tra loro..siano allora \( \displaystyle {P}_{{1}}={C}_{{1}}\cap{C}_{{1}}' \) e \( \displaystyle {P}_{{2}}={C}_{{2}}\cap{C}_{{2}}' \) i due punti che andiamo a togliere..\( \displaystyle {X}={T}-{\left\lbrace{P}_{{1}},{P}_{{2}}\right\rbrace}={A}\cup{A}'\cup{B}\cup{B}' \) dove \( \displaystyle {A}={T}-{C}_{{1}} \),\( \displaystyle {A}'={T}-{C}_{{1}}' \),\( \displaystyle {B}={T}-{C}_{{2}} \) e \( \displaystyle {B}'={T}-{C}_{{2}}' \).
Poiché le intersezioni a due a due degli aperti \( \displaystyle {A},{A}',{B},{B}' \) sono proprio \( \displaystyle {\left({0},{1}\right)}\times{\left({0},{1}\right)} \),semplicemente connesso,allora \( \displaystyle \pi{\left({X}\right)}=\mathbb{Z}\star\mathbb{Z}\star\mathbb{Z}\star\mathbb{Z} \).. in generale se tolgo \( \displaystyle {n} \) punti al toro il gruppo fondamentale che ottengo è quello libero su \( \displaystyle {2}{n} \) generatori..


2]Si calcoli il gruppo fondamentale di \( \displaystyle {{S}}^{{2}}\cup{r}_{{1}}\cup\ldots\cup{r}_{{n}} \) dove
\( \displaystyle {r}_{{1}},{r}_{{2}},\ldots,{r}_{{n}} \) sono raggi distinti della sfera.

Chiamo \( \displaystyle {X}={{S}}^{{2}}\cup{r}_{{1}}\cup\ldots\cup{r}_{{n}} \). Osservo che \( \displaystyle {{S}}^{{2}} \) è retratto di deformazione di \( \displaystyle {X} \) tramite l'omotopia \( \displaystyle {F}:{X}\times{I}\to{X} \) e tale che \( \displaystyle {F}{\left({x},{t}\right)}={\left({1}-{t}\right)}{x}+{t}\frac{{x}}{{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}}} \). E quindi \( \displaystyle \pi{\left({X}\right)}={\left\lbrace{0}\right\rbrace} \). Spero almeno questo sia riuscita a farlo bene !!

[apatriarca]

\(S^2\) NON è un retratto di deformazione di \(X\). Un retratto di deformazione di \(X\) è \(S^2 \wedge \left( \bigwedge^{n-1} S^1 \right).\)

[studentessa CdLmate]

perdonami ma non leggo bene qual'è un retratto di deformazione di \( \displaystyle {X} \)..

[apatriarca]

Sarebbe la sfera alla quale sono state incollate nello stesso punto \(n-1\) circonferenze.

[studentessa CdLmate]

non la riesco a vedere questa retrazione.. mi viene più naturale proiettare i raggi sul punto in cui intersecano la sfera..e riottenere la stessa..

[apatriarca]

Ma i raggi si intersecano tutti al centro della sfera.. L'origine dove la proietteresti? Per vedere questa retrazione è necessario prima contrarre i punti in cui i raggi incontrano la sfera in un solo punto e poi contrarre uno dei raggi.