Esercizi Teoria dei Gruppi

[sgrappy]

http://www.dima.unige.it/~niesi/Alg2_08/Al2_genn09.pdf
http://www.dima.unige.it/~niesi/Alg2_08/Al2_feb09.pdf
Ciao a tutti, vi chiedo molto gentilmente se qualcuno sa risolvere gli esercizi 1 b) c) e 2 del primo link e 1 e 4 del secondo.
e inoltre se qualcuno sa dove posso trovare delle dispense ben fatte su questi argomenti.
grazie in anticipo
cyà

ho modificato avevo erroneamente segnato il 3, al posto del 4

[fu^2]

quali problemi insormontabili ti danno gli esercizi da te citati?

[mistake89]

gli esercizi non li so fare ma ti posso consigliare la pagina web della mia prof. di Algebra 1 a bari, molto molto chiara e disponibile
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/indice.htm

[sgrappy]

quali problemi insormontabili ti danno gli esercizi da te citati?

Insormontabili spero nulla, semplicemente non ho gli appunti precisi di quest'anno e l'anno scorso hanno trattato più leggermente questa parte per privilegiarene altre .
allora nel primo link:
punto b non so come si comporta A4, e se G quozientato H è ciclico , mentre per il punto c) volevo una conferma se potevo semplicemente prendere S2.
nel secondo link:
un principio che mi leghi p-sottogruppo di Sylow alla ciclicità del sottogruppo. per il primo esercizio.
mentre per il quarto, vedo un'attimo.
mi era sfuggita una parte importantissima del testo



ps.grazie per le dispense.

[sgrappy]

alè!
si il quarto del secondo foglio sono (forse) riuscito a risolverlo.
la risoluzione dovrebbe essere la seguente
Orb(X)={gX| g appartenga a S3}
quindi X posso pensarlo come terna (0,1,0)
(1)(0,1,0)=(1 3)(0,1,0)=(0,1,0)
(1 2)(0,1,0)=(1 3 2)(0,1,0)=(1,0,0)
(2 3)(0,1,0)=(1 2 3)(0,1,0)=(0,0,1)
da cui
Orb(X)={(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)}
|Orb(X)|=3 =>|Stab(X)|=2
Stab(X)={g appartenente a S3| gX=X}
Stab(X)={(1),(1 3)}
Quante sono le orbite?
(1,1,1) 1 orbita 6 stab
(1,0,0) 3 orbite 2 stab
(1,1,0) 3 orbite 2 stab

qualcuno mi può confermare il procedimento?

[vict85]

alè!
si il quarto del secondo foglio sono (forse) riuscito a risolverlo.
la risoluzione dovrebbe essere la seguente
Orb(X)={gX| g appartenga a S3}
quindi X posso pensarlo come terna (0,1,0)
(1)(0,1,0)=(1 3)(0,1,0)=(0,1,0)
(1 2)(0,1,0)=(1 3 2)(0,1,0)=(1,0,0)
(2 3)(0,1,0)=(1 2 3)(0,1,0)=(0,0,1)
da cui
Orb(X)={(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)}
|Orb(X)|=3 =>|Stab(X)|=2
Stab(X)={g appartenente a S3| gX=X}
Stab(X)={(1),(1 3)}
Quante sono le orbite?
(1,1,1) 1 orbita 6 stab
(1,0,0) 3 orbite 2 stab
(1,1,0) 3 orbite 2 stab

qualcuno mi può confermare il procedimento?

A occhio dovrebbe essere giusto... Usa le formule però... Non hai motivato perché hai scelto solo 3 elementi di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) per calcolare l'orbita...

[alvinlee88]

Per il secondo:
Sia \( \displaystyle {F}={\left\lbrace{s}\in{S}{\mid}{g{{s}}}={s}\forall{g{\in}}{G}\right\rbrace} \). Per \( \displaystyle {s}\in{S} \), sia \( \displaystyle {S}{t}{\left({s}\right)}={\left\lbrace{g{\in}}{G}{\mid}{g{{s}}}={s}\right\rbrace} \), che è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \). Evidentemente
\( \displaystyle {x}\in{F}\Leftrightarrow{S}{t}{\left({x}\right)}={G} \). Dalla formula delle classi, abbiamo \( \displaystyle {11}={\left|{X}\right|}=\sum_{{{x}\in{R}}}{\left|{C}{l}{\left({x}\right)}\right|}=\sum_{{{x}\in{R}}}\frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}} \), con \( \displaystyle {R} \) insieme di rappresentanti. Per quanto detto prima se \( \displaystyle {x}\in{F} \) i corrispondenti addendi \( \displaystyle \frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}} \) valgono \( \displaystyle {1} \), dunque ottengo \( \displaystyle {11}={\left|{F}\right|}+\sum_{{{x}\in{T}}}\frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}} \) , con \( \displaystyle {T} \) un insieme di rappresentanti per cui \( \displaystyle {x}\in{T}\Rightarrow{x}\notin{F} \), e per questi \( \displaystyle {x} \) \( \displaystyle {\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}\in{\left\lbrace{1},{3},{7}\right\rbrace}\Rightarrow\frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}}\in{\left\lbrace{21},{7},{3}\right\rbrace} \). Se fosse per assurdo \( \displaystyle {\left|{F}\right|}={0} \) avremmo che \( \displaystyle {11} \) si potrebbe scrivere come somma di numeri in \( \displaystyle {\left\lbrace{3},{7},{21}\right\rbrace} \), il che è impossibile.

[sgrappy]

Per il secondo:
Sia \( \displaystyle {F}={\left\lbrace{s}\in{S}{\mid}{g{{s}}}={s}\forall{g{\in}}{G}\right\rbrace} \). Per \( \displaystyle {s}\in{S} \), sia \( \displaystyle {S}{t}{\left({s}\right)}={\left\lbrace{g{\in}}{G}{\mid}{g{{s}}}={s}\right\rbrace} \), che è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \). Evidentemente
\( \displaystyle {x}\in{F}\Leftrightarrow{S}{t}{\left({x}\right)}={G} \). Dalla formula delle classi, abbiamo \( \displaystyle {11}={\left|{X}\right|}=\sum_{{{x}\in{R}}}{\left|{C}{l}{\left({x}\right)}\right|}=\sum_{{{x}\in{R}}}\frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}} \), con \( \displaystyle {R} \) insieme di rappresentanti. Per quanto detto prima se \( \displaystyle {x}\in{F} \) i corrispondenti addendi \( \displaystyle \frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}} \) valgono \( \displaystyle {1} \), dunque ottengo \( \displaystyle {11}={\left|{F}\right|}+\sum_{{{x}\in{T}}}\frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}} \) , con \( \displaystyle {T} \) un insieme di rappresentanti per cui \( \displaystyle {x}\in{T}\Rightarrow{x}\notin{F} \), e per questi \( \displaystyle {x} \) \( \displaystyle {\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}\in{\left\lbrace{1},{3},{7}\right\rbrace}\Rightarrow\frac{{\left|{G}\right|}}{{\left|{S}{t}{\left({x}\right)}\right|}}\in{\left\lbrace{21},{7},{3}\right\rbrace} \). Se fosse per assurdo \( \displaystyle {\left|{F}\right|}={0} \) avremmo che \( \displaystyle {11} \) si potrebbe scrivere come somma di numeri in \( \displaystyle {\left\lbrace{3},{7},{21}\right\rbrace} \), il che è impossibile.

grazie mille (:.
ieri ero stanco, e stamattina riprendendo l'esercizio l'ho risolto appena l'ho letto -.- in un modo molto sbrigativo ma penso efficace
\( \displaystyle {\left|{G}\right|}={21} \)
\( \displaystyle {\left|{S}\right|}={11} \)
\( \displaystyle {\left|{G}\right|}={21}={\left|{S}{t}{a}{b}{\left({s}\right)}\right|}{\left|{O}{r}{b}{\left({s}\right)}\right|} \)
\( \displaystyle {S}{t}{a}{b}{\left({s}\right)}{c}{G} \)
\( \displaystyle {O}{r}{b}{\left({s}\right)}{c}{S} \)
quindi essendo l'orbita un sottogruppo di \( \displaystyle {S} \), \( \displaystyle {\left|{S}\right|}={11} \) e 11 è primo => \( \displaystyle {\left|{O}{r}{b}{\left({s}\right)}\right|}\in{\left\lbrace{1},{11}\right\rbrace} \)
ma \( \displaystyle {11} \) non divide \( \displaystyle {21} \) =>\( \displaystyle {\left|{O}{r}{b}{\left({s}\right)}\right|}={1} \)=>\( \displaystyle {\left|{S}{t}{a}{b}{\left({s}\right)}\right|}={\left|{G}\right|}={21} \)
e quindi per ogni \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) \( \displaystyle {g{{s}}}={s} \)

[alvinlee88]

quindi essendo l'orbita un sottogruppo di \( \displaystyle {S} \)

Questo è sbagliato, \( \displaystyle {S} \) è solo un insieme, non un gruppo, quindi non ha senso parlare di sottogruppi di un insieme.