Esercizi vari sui limiti

[Pedofago]

Vorrei sottoporvi alcuni esercizi sui limiti che non riesco a svolgere o su cui ho dei dubbi.

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty } \left( \frac{x+4}{2x+1}\right)^{x} \)

Ho pensato di raccogliere \( \displaystyle x \) al numeratore ed al denominatore ottenendo:

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty } \left( \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(2+\frac{1}{x})}\right)^{x} \)

Da cui

\( \displaystyle \frac{1}{2}^{+\infty}= 0 \)

Non sono però sicuro della conclusione che ho tratto. Potreste cortesemente dirmi se ho sbagliato?


Un altro esercizio che vorrei sottoporvi è il seguente:

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{3x^{2}} \)

Dovrei risolverlo senza utilizzare il \( \displaystyle \cosh \) e non so proprio da dove iniziare...

Vi prego di aiutarmi!
Il mangiabambini

[@melia]

A parte il fatto che il tuo nick non mi piace, non serve che tu lo traduca, dopo tutto i babau fanno paura, non chiedono aiuto!

il primo limite che hai calcolato va bene, per il secondo dovresti scomporlo in due addendi\( \displaystyle \frac{{{{e}}^{{{x}}}+{{e}}^{{-{x}}}-{2}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}}=\frac{{{{e}}^{{{x}}}-{1}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}}+\frac{{{{e}}^{{-{x}}}-{1}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}} \) e poi fare riferimento ai limiti notevoli

[Pedofago]

A parte il fatto che il tuo nick non mi piace, non serve che tu lo traduca, dopo tutto i babau fanno paura, non chiedono aiuto!

Ci sono babau e babau.. io in realtà sono buono.. sono le mamme che mi ritraggono per quel che non sono

il primo limite che hai calcolato va bene, per il secondo dovresti scomporlo in due addendi\( \displaystyle \frac{{{{e}}^{{{x}}}+{{e}}^{{-{x}}}-{2}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}}=\frac{{{{e}}^{{{x}}}-{1}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}}+\frac{{{{e}}^{{-{x}}}-{1}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}} \) e poi fare riferimento ai limiti notevoli

Ci provo:

\( \displaystyle \frac{{{{e}}^{{{x}}}+{{e}}^{{-{x}}}-{2}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}}=\frac{{{{e}}^{{{x}}}-{1}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}}+\frac{{{{e}}^{{-{x}}}-{1}}}{{{3}{{x}}^{{{2}}}}}= \)
\( \displaystyle =\frac{{{{e}}^{{{x}}}-{1}}}{{x}}\cdot\frac{{1}}{{{3}{x}}}-\frac{{{{e}}^{{-{x}}}-{1}}}{{-{{x}}}}\cdot\frac{{1}}{{{3}{x}}}= \)
\( \displaystyle =\frac{{1}}{{{3}{x}}}\cdot{\left(\frac{{{{e}}^{{{x}}}-{1}}}{{x}}-\frac{{{{e}}^{{-{x}}}-{1}}}{{-{{x}}}}\right)} \)
Ma adesso invece di avere una forma indeterminata del tipo \( \displaystyle \frac{{0}}{{0}} \) ne ho una del tipo \( \displaystyle +\infty\cdot{0} \) e non so di nuovo come comportarmi..

[@melia]

Hai ragione, mi è venuto in mente mentre preparavo la cena, che forse il mio consiglio ti portava ad una nuova forma di indeterminazione. E di usare L'Hospital che ne dici? Bisogna applicarlo un paio di volte.

[Pedofago]

Provo con L'Hospital:

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{3x^{2}} = \)

\( \displaystyle = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{6x} = \)

\( \displaystyle = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}}{6} = \frac{1}{3} \)

Spero di non aver fatto orroracci con la derivazione..
Grazie mille @melia!

[@melia]

Prego

[Pedofago]

Avrei un altro paio di esercizi da sottoporvi

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{x+1}{|x|-1}} \)

E' la prima volta che incontro un valore assoluto in un limite e non so come trattarlo.
Distinguere i due casi x>0 e x<0 non ha senso: se la funzione tende a \( \displaystyle -\infty \) è definitivamente negativa.

L'altro esercizio per cui vorrei qualche hint è questo:

\( \displaystyle \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}{\frac{-x+\sqrt{x^{2}-8} }{6x+7}} \)
Ho raccolto \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) sotto radice, portato fuori x, raccolto x al numeratore ed al denominatore ed ho ottenuto come risultato 0, ma secondo il libro dovrebbe essere \( \displaystyle -\frac{{1}}{{3}} \)

Ciao e grazie ancora! ^^

[@melia]

So qual è il tuo problema. Ti comunico che \( \displaystyle \sqrt{{{{x}}^{{2}}}}={\left|{x}\right|} \) e non, erroneamente, \( \displaystyle {x} \) come hai scritto nei tuoi calcoli.

[Pedofago]

So qual è il tuo problema. Ti comunico che \( \displaystyle \sqrt{{{{x}}^{{2}}}}={\left|{x}\right|} \) e non, erroneamente, \( \displaystyle {x} \) come hai scritto nei tuoi calcoli.

Hai ragione, me ne ero dimenticato. Ma è comunque un esercizio che non riesco a svolgere: non so come trattare i valori assoluti

[@melia]

Per \( \displaystyle {x}\to-\infty \) si ha \( \displaystyle {\left|{x}\right|}=-{x} \)