Esercizietto sulle norme equivalenti

[Lauke]

Ciao ragazzi scusate dovrei risolvere questo esercizio

Siano \( \displaystyle {\left|{\left|.\right|}\right|}_{{a}} \) e \( \displaystyle {\left|{\left|.\right|}\right|}_{{b}} \) due norme di matrici indotte da \( \displaystyle {\left|{\left|.\right|}\right|}_{{\alpha}} \) e \( \displaystyle {\left|{\left|.\right|}\right|}_{{\beta}} \) tali che
\( \displaystyle {c}_{{1}}{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}\le{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\beta}}\le{c}_{{2}}{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\alpha}} \) \( \displaystyle \forall{x}\in{\mathbb{R}}^{{n}} \) con \( \displaystyle {c}{2}\gt{c}{1}\ge{0} \) è vero che

\( \displaystyle {d}_{{1}}{\left|{\left|{A}\right|}\right|}_{{a}}\le{\left|{\left|{A}\right|}\right|}_{{b}}\le{d}_{{2}}{\left|{\left|{A}\right|}\right|}_{{a}} \) con \( \displaystyle {d}_{{1}}={\frac{{{c}_{{1}}}}{{{c}_{{2}}}}} \) e \( \displaystyle {d}_{{2}}={\frac{{{c}_{{2}}}}{{{c}_{{1}}}}} \) ?

Ora secondo me non era vero, ma non sono riuscito a trovare un contro esempio adeguato.

Allora ho provato a dimostrare che fosse vero però mi sono bloccato...vi espongo brevemente cosa ho fatto.

Assumendo vere le ipotesi, allora l'equivalenza tra le due norme di vettore dovrà valere per ogni \( \displaystyle {x}\in{\mathbb{R}}^{{n}} \) ma se ciò è vero, poichè per ogni matrice \( \displaystyle {A} \) il vettore \( \displaystyle {A}{x} \) appartiene anch'esso ad \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) sicuramente questa diseguaglianza è lecita

\( \displaystyle {c}_{{1}}{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}\le{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\beta}}\le{c}_{{2}}{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\alpha}} \). Supposto di fissare \( \displaystyle {x} \) in modo arbitrario, poichè le norme sono equivalenti, e con qualche passaggio, sicuramente anche la relazione sottostante dovrebbe essere vera...

\( \displaystyle {\frac{{{c}_{{1}}}}{{{c}_{{2}}}}}{\frac{{{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}}}{{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}}}}\le{\frac{{{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\beta}}}}{{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\beta}}}}}\le{\frac{{{c}_{{2}}}}{{{c}_{{1}}}}}{\frac{{{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}}}{{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}}}} \)

Ricordando che quanto scritto vale \( \displaystyle \forall{x}\in{\mathbb{R}}^{{n}} \) allora posso fissare \( \displaystyle {x} \) in modo tale da massimazzare il rapporto \( \displaystyle {\frac{{{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}}}{{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\alpha}}}}} \) con \( \displaystyle {\left|{\left|{x}\right|}\right|}={1} \) fatto ciò sicuramente è valida quest'ultima diseguaglianza...

\( \displaystyle {d}_{{1}}{\left|{\left|{A}\right|}\right|}_{{a}}\le{\frac{{{\left|{\left|{A}{x}\right|}\right|}_{{\beta}}}}{{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}_{{\beta}}}}}\le{d}_{{2}}{\left|{\left|{A}\right|}\right|}_{{a}} \)

Ed è qui che mi sono bloccato non è detto infatti che l' \( \displaystyle {x} \) che io ho fissato adesso sia un \( \displaystyle {x} \) tale che riesca a indurre la norma \( \displaystyle {\left|{\left|.\right|}\right|}_{{b}} \). O quanto meno io non riesco a dedurlo. Però è chiaro che questa non è una dimostrazione è una serie di passi logici, che penso siano corretti, ma non sono giunto ad alcuna conclusione. Se ipotizzo ancora che gli \( \displaystyle {x} \) coincidano per ambo le norme allora in questo caso particolare vale ma se non lo ipotizzo non riesco a dimostrarlo in generale, oppure ancora non riesco a trovare un controesempio che dimostri che senza quell'ipotesi valga l'induzione dell'equivalenza.

Quindi concludendo l'esercizio come va risolto?