Esercizio cardinalità insiemi

[One]

In \( \displaystyle {V}_{{2}}{\left(\mathbb{R}\right)} \) ho questi insiemi di punti:
\( \displaystyle {A}={\left\lbrace{\left({0},{0}\right)}{\left({0},{1}\right)}{\left({1},{0}\right)}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {B}={\left\lbrace{\left(-{1},{0}\right)}{\left({0},{0}\right)}{\left({0},-{1}\right)}\right\rbrace} \)
Devo determinare la cardinalità di: \( \displaystyle {A}\cap{\left({A}+{B}\right)} \) e \( \displaystyle {B}{\left(\cap\right)}{\left({A}+{B}\right)} \)

Io ho calcolato prima \( \displaystyle {\left({A}+{B}\right)}={\left\lbrace{\left(-{1},{0}\right)}{\left({0},{1}\right)}{\left({1},-{1}\right)}\right\rbrace} \)
Mi risulta:
\( \displaystyle {A}\cap{\left({A}+{B}\right)}={\left\lbrace{\left({0},{1}\right)}\right\rbrace} \),quindi cardinalità=1,
\( \displaystyle {B}\cap{\left({A}+{B}\right)}={\left\lbrace{\left(-{1},{0}\right)}\right\rbrace} \) quindi anche qui cardinalità=1

Ma non sono sicuro di aver fatto bene.....Mi potete dire se e dove sbaglio?

[mistake89]

\( \displaystyle {V}_{{2}}{\left(\mathbb{R}\right)} \) è uno spazio vettoriale reale giusto?
allora osserva che \( \displaystyle {\left({1},-{1}\right)}=-{1}{\left(-{1},{0}\right)}-{1}{\left({0},-{1}\right)} \)...

Ammesso che abbia capito l'esercizio!

[One]

OK,credo di aver capito...
Quindi è giusto considerare \( \displaystyle {\left(-{1},{0}\right)}=-{\left({1},{0}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({0},-{1}\right)}=-{\left({0},{1}\right)} \) ?
In questo caso mi riuslta:
\( \displaystyle {A}\cap{\left({A}+{B}\right)} \) cardinalità=3,
\( \displaystyle {B}\cap{\left({A}+{B}\right)} \) cardinalità=3

[mistake89]

Se è uno spazio vettoriale sì. In quanto i vettori proporzionali tra loro sono rappresentati mediante un unico vettore (e non punto!).

Ripeto, se ho capito l'esercizio, allora la risoluzione mi pare corretta!

[One]

L'esercizio continua chiedendo di calcolare la cardinalità(numero di punti contenuti in quell'insieme) di
1)\( \displaystyle {A}\cap{B} \)
2)\( \displaystyle {A}\cup{B} \)
3)\( \displaystyle {\left({A}\cup{B}\right)}\cap{\left({A}+{B}\right)} \)
A me riuslta:
\( \displaystyle {1}\)={1} \)
\( \displaystyle {2}\)={5} \)
\( \displaystyle {3}\)={2} \)

In questo caso non ho applicato il "criterio" di prima, però i risultati dovrebbero essere corretti......O no?