esercizio cinematica del punto

[tigris1903]

All'istante t=0, un treno parte con accelerazione scalare iniziale \( \displaystyle {a}_{{0}}={0},{4}\frac{{m}}{{{{s}}^{{2}}}} \); l'accelerazione diminuisce poi linearmente col tempo e si annulla all'istante \( \displaystyle {T} \) in cui il treno ha raggiunto una velocità di modulo \( \displaystyle {V}={90}\frac{{{k}{m}}}{{{h}}} \). Si determini lo spazio \( \displaystyle {S} \) percorso dal treno fino all'istante \( \displaystyle {T} \).

Ho provato più volte a impostarlo e risolverlo ma ottengo un risultato sbagliato (simile però alla soluzione). Per quello che potuto vedere la chiave del problema dovrebbe essere quella di considerare l'accelerazione (decelerazione) con legge \( \displaystyle {a}{\left({t}\right)}={a}_{{0}}-{k}{t} \), il k è dedotto dal testo (diminuisce linearmente col tempo).
Impostando \( \displaystyle {v}{\left({t}\right)}={a}{t} \), naturalmente sostituendo l'accelerazione esplicito la t e la sostituisco nella legge oraria.
Il tutto non funzione e non capisco perché, inoltre ho anche il k...ma quello non penso sia difficile trovarlo.

[piero_]

\(a(t)=a_0-kt\)
integrando troviamo la velocità:
\(v(t) = v_0 + \int_0^t {(a_0 - kt)dt} = a_0 t - \frac{1}{2}kt^2\)
integrando ancora trovi la legge oraria.

[tigris1903]

\( \displaystyle {s}{\left({t}\right)}=\frac{{{a}_{{0}}{{t}}^{{2}}}}{{2}}-\frac{{{k}{{t}}^{{3}}}}{{6}} \) questa è il risultato dell'integrazione, ricavo il k dalla relazione \( \displaystyle {V}={a}_{{0}}{T}-\frac{{{k}{{T}}^{{2}}}}{{2}} \) cioè

\( \displaystyle {K}=\frac{{-{2}{V}+{2}{a}_{{0}}{T}}}{{{{T}}^{{2}}}} \)
sostituisco e non torna nulla....il risultato del testo è \( \displaystyle {S}=\frac{{4}}{{3}}\frac{{{V}}^{{2}}}{{a}_{{0}}} \)

il metodo tramite integrazione è stato subito il mio tentativo in quanto ho l'accelerazione in funzione del tempo. Non so, o ricavo il tempo T dalla relazione della velocità e sostituisco....ma anche in questo caso ottengo "robaccia".

[piero_]

L'accelerazione è nulla quando \( \displaystyle {t}={T} \) e in questo istante la velocità vale \( \displaystyle {V} \):
\(0=a_0-kT \) da cui \(\displaystyle T= \frac {a_0} {k}\)
per la velocità avremo:

\(\left\{ \begin{array}{l} V = a_0 T - \frac{k}{2}T^2 \\ T = \frac{{a_0 }}{k} \\ \end{array} \right.\)
da cui :
\(\displaystyle V=\frac{a_0^2}{k}\)
per lo spazio:
\(\displaystyle S=\frac{a_0^3}{3k^2}=\frac{{a_0 ^3 }}{{3\frac{{a_0 ^4 }}{{4V^2 }}}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{{V^2 }}{{a_0 }}\)

[tigris1903]

Allora rimetto il procedimento in chiaro per tutti. (grazie piero)

L'andamento delle decelerazione è : \( \displaystyle {a}{\left({t}\right)}={a}_{{0}}-{k}{t} \) è una equazione di una retta con coefficiente angolare negativo.

sapendo che \( \displaystyle {d}{v}={a}{\left.{d}{t}\right.} \) si svolge l'integrale per ricavare l'andamento della velocità: \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{v}}}{d}{v}={\int_{{0}}^{{t}}}{\left({a}_{{0}}-{k}{t}\right)}{\left.{d}{t}\right.} \) il risultato è \( \displaystyle {v}{\left({t}\right)}={a}_{{0}}-\frac{{k}}{{2}}{{t}}^{{2}} \)

Dal testo di evince che: quando si arriva al tempo \( \displaystyle {T} \) la velocità è \( \displaystyle {V} \) e l'accelerazione è nulla; quindi si ricava il \( \displaystyle {k} \) dalla relazione della velocità prima trovata e il \( \displaystyle {T} \) dalla relazione dell'accelerazione.
\( \displaystyle {0}={a}{\left({T}\right)}={a}_{{0}}-{k}{T} \)
\( \displaystyle {T}=\frac{{a}_{{0}}}{{K}} \)

\( \displaystyle {v}{\left({T}\right)}={a}_{{0}}{T}-\frac{{k}}{{2}}{{T}}^{{2}}=\frac{{{a}_{{0}}^{{2}}}}{{{2}{k}}} \)

\( \displaystyle {k}=\frac{{{a}_{{0}}^{{2}}}}{{{2}{V}}} \)

sapendo che \( \displaystyle {d}{s}={v}{\left.{d}{t}\right.} \) di integra la velocità: \( \displaystyle {\int_{{0}}^{{S}}}{d}{s}={\int_{{0}}^{{{T}=\frac{{a}_{{0}}}{{k}}}}}{\left({a}_{{0}}{t}-\frac{{k}}{{2}}{{t}}^{{2}}\right)}{\left.{d}{t}\right.} \)

risulta: \( \displaystyle {S}=\frac{{{a}_{{0}}^{{3}}}}{{{3}{{k}}^{{2}}}} \) sostituendo il k prima trovato si ha: \( \displaystyle {S}={4}\frac{{{V}}^{{2}}}{{{3}{a}_{{0}}}} \)

[dissonance]

Allora rimetto il procedimento in chiaro per tutti. (grazie piero)

Grazie anche a te per esserti preso questo disturbo. In questa maniera agevoli molto la consultazione futura.