Esercizio con due piani inclinati

[Manugal]

Ciao a tutti!

Ho il seguente problema:

"Un corpo di massa m=40g, inizialmente fermo, scende lungo un piano inclinato, formato da due parti contigue di diversa inclinazione. La prima è scabra, con coefficiente d'attrito dinamico \( \displaystyle \mu \) e inclinazione \( \displaystyle \theta_{{1}}={60}° \); la seconda invece è liscia ed inclinata di \( \displaystyle \theta_{{2}}={30}° \) rispetto all'orizzontale. Si determini il valore del coefficiente d'attrito affinché il corpo abbia accelerazione costante (in modulo)"

Questo esercizio l'ho risolto, dopodiché continua dicendo:

"Considerando il problema precedente, sapendo che la sommità del piano inclinato si trova ad un'altezza \( \displaystyle {h}={10}{m} \) e che il secondo tratto - quello privo d'attrito - è lungo \( \displaystyle {l}={10}{m} \) si determini la velocità con cui il corpo arriva al suolo. Si usi il coefficiente d'attrito trovato nel problema precedente".

Il coefficiente d'attrito nel problema precedente mi è venuto \( \displaystyle \mu_{{d}}=\frac{{{g{{s}}}{e}{n}\theta_{{1}}-{s}{e}{n}\theta_{{2}}}}{{{\cos{\theta}}_{{1}}}} \). Ora però non saprei come utilizzare questo coefficiente. Io pensavo di trovare la velocità nel primo tratto (quello con attrito) e poi la velocità nel secondo tratto e sommarle. Però non saprei come trovare la lunghezza del primo tratto. Come si può fare?

Grazie.

[adaBTTLS]

nell'espressione del coefficiente d'attrito mi pare che ci sia una "g" di troppo.
certo che \( \displaystyle \mu \) si ricava dall'uguaglianza delle due accelerazioni in modulo, quindi l'accelerazione del primo la puoi scrivere anche senza utilizzare \( \displaystyle \mu \) : \( \displaystyle {a}={g{\cdot}}{s}{e}{n}{\left(\theta_{{2}}\right)} \). conosci altezza e inclinazione -> lunghezza 1° tratto = \( \displaystyle \frac{{h}}{{{s}{e}{n}{\left(\theta_{{1}}\right)}}} \). dalle formule del moto uniformemente accelerato ti puoi ricavare il tempo e la velocità finale... ciao.

[Manugal]

Scusa ma se il primo tratto ha superficie scabra perché non serve considerare \( \displaystyle \mu \)?

[adaBTTLS]

certo che l'ho considerato: come ricavi \( \displaystyle \mu \) ? uguagliando i moduli delle due accelerazioni:
\( \displaystyle {g{\cdot}}{\left({s}{e}{n}{\left(\theta_{{1}}\right)}-\mu\cdot{\cos{{\left(\theta_{{1}}\right)}}}\right)}={g{\cdot}}{\left({s}{e}{n}{\left(\theta_{{2}}\right)}\right)} \)
da cui ricavi la tua vecchia formula del coefficiente di attrito senza "g".
solo che, se i due membri sono uguali, o utilizzi l'espressione complicata al primo membro o quella semplice al secondo... (per l'accelerazione) è lo stesso!
ciao.

[Manugal]

Vediamo se ci sono arrivato:

Allora l'accelerazione in tutto il piano è costante ed è \( \displaystyle {a}={g{{s}}}{e}{n}\theta_{{2}}={4.9}{m}\//{{s}}^{{2}} \). La lunghezza del primo tratto è \( \displaystyle {d}=\frac{{h}}{{{s}{e}{n}\theta_{{1}}}}={11.5}{m} \). Ora utilizzando l'equazione \( \displaystyle {{v}_{{f}}^{{2}}}={{v}_{{i}}^{{2}}}+{2}{a}{\left({x}_{{f{-}}}{x}_{{i}}\right)} \) trovo che \( \displaystyle {v}_{{f{=}}}\sqrt{{{2}{a}{x}_{{f}}}}={14.5}{m}\//{s} \) con \( \displaystyle {x}_{{f{=}}}{l}+{d}={10}+{11.5} \). E' corretto?

[adaBTTLS]

non sono riuscita a seguire il tuo ragionamento, ma io ho ricavato \( \displaystyle {t}={1},{535}{s} \) dalla relazione \( \displaystyle {l}=\frac{{1}}{{4}}\cdot{g{\cdot}}{{t}}^{{2}} \) e poi \( \displaystyle {\left({v}_{{f}}\right)}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{g{\cdot}}{t}={7},{52}\frac{{m}}{{s}} \). ora devo andare. ciao.

[Manugal]

Ok, grazie mille. Però ora sono io che non ho capito che cosa hai fatto tu

Che cos'è \( \displaystyle \frac{{1}}{{4}}\cdot{g{\cdot}}{{t}}^{{2}} \)?! E perché usi g e non l'accelerazione che ho già trovato?

[adaBTTLS]

\( \displaystyle \frac{{1}}{{4}}\cdot{g} \) sta per \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}\cdot{a} \) perché \( \displaystyle {s}{e}{n}{\left(\theta_{{2}}\right)}=\frac{{1}}{{2}} \) e quindi \( \displaystyle {a}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{g} \)... tutto qui. è la formula della legge orario del moto uniformentente accelerato:
spazio (= \( \displaystyle {l} \) ) = \( \displaystyle {v}_{{0}}\cdot{t}+\frac{{1}}{{2}}\cdot{a}\cdot{{t}}^{{2}} \), con \( \displaystyle {v}_{{0}}={0} \) -> \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}\cdot{a}\cdot{{t}}^{{2}}=\frac{{1}}{{4}}\cdot{g{\cdot}}{{t}}^{{2}}={l}\to\frac{{1}}{{4}}\cdot{g{\cdot}}{{t}}^{{2}}=\frac{{10}}{{3}}\cdot\sqrt{{{3}}}{m}\to{t}=\sqrt{{\frac{{{4}\cdot{10}\cdot\sqrt{{{3}}}}}{{{3}\cdot{9},{8}}}}}{s}={1},{535}{s} \) -> sempre dalle leggi del moto uniformemente accelerato segue che \( \displaystyle {v}_{{f{=}}}{v}_{{0}}+{a}\cdot{t} \) con \( \displaystyle {v}_{{0}}={0} \) e \( \displaystyle {a}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{g} \) quindi \( \displaystyle {v}_{{f{=}}}\frac{{1}}{{2}}\cdot{g{\cdot}}{t}={7},{52}\frac{{m}}{{s}} \). OK?
ciao.

[Manugal]

Ok, chiaro. Grazie.