Esercizio Connessione

[squalllionheart]

Siano due aperti \( \displaystyle {X}_{{1}} \) e \( \displaystyle {X}_{{2}} \) aperti di uno spazio topologico \( \displaystyle {X} \). Dimostrare che se \( \displaystyle {X}_{{1}}\cap{X}_{{2}} \) e \( \displaystyle {X}_{{1}}\cup{X}_{{2}} \) sono connessi, allora \( \displaystyle {X}_{{1}} \) e \( \displaystyle {X}_{{2}} \) sono connessi.
(Suggerimento si usi il fatto che una funzione definita su uno spazio topologico è connesso se e solo se e solo se ogni funzione a valori discreti è continua).
Sono quasi certamente sicura che ho sbagliato il ragionamento correggetemi
Allora se f continua da \( \displaystyle {X} \) in \( \displaystyle {D} \) dove \( \displaystyle {D} \) è uno spazio discreto allora l'immagine di un connesso è connesso ma gli unici insiemi connessi sono i punti. Supponendo che \( \displaystyle {X}_{{1}} \) e \( \displaystyle {X}_{{2}} \) nn siano connessi allora l'immagine non sarà un connesso dunque poichè \( \displaystyle {f} \) continua
\( \displaystyle {\left\lbrace{b}\right\rbrace}={f{{\left({X}_{{1}}\cup{X}_{{2}}\right)}}}\supset{f{{\left({X}_{{1}}\right)}}}\cup{f{{\left({X}_{{2}}\right)}}}={\left\lbrace{a},{b}\right\rbrace}{U}{\left\lbrace{c},{b}\right\rbrace} \)
ma ciò è assurdo
Quindi \( \displaystyle {f} \) necessariamente deve essere costante,ma se \( \displaystyle {f} \) costante allora \( \displaystyle {X} \) è connesso quindi sia \( \displaystyle {X}_{{1}} \) e \( \displaystyle {X}_{{2}} \) connessi.
Grazie in anticipo

[vict85]

Cominciamo con il considerare \( \displaystyle {X}_{{1}}\cap{X}_{{2}} \) siccome \( \displaystyle {X}_{{1}}\cup{X}_{{2}} \) è connesso allora \( \displaystyle {X}_{{1}}\cap{X}_{{2}} \) è non vuoto oppure è vuoto uno dei due insiemi. Se uno dei due insiemi è vuoto allora l'unione dei due è il secondo insieme che è quindi connesso.

Quindi consideriamo l'intersezione non vuota.

Se, per assurdo, \( \displaystyle {X}_{{1}} \) non fosse connesso allora esisterebbero due aperti \( \displaystyle {A}_{{1}} \) e \( \displaystyle {B}_{{1}} \) disgiunti, la cui unione è \( \displaystyle {X}_{{1}} \). \( \displaystyle {X}_{{1}}\cap{X}_{{2}} \) è connesso e quindi è interalmente contenuto in uno dei due aperti, supponiamo che sia \( \displaystyle {A}_{{1}} \) allora \( \displaystyle {\left({A}_{{1}}\cup{X}_{{2}}\right)} \) e \( \displaystyle {B}_{{1}} \) sarebbero due aperti disgiunti la cui unione è \( \displaystyle {X}_{{1}}\cup{X}_{{2}} \) che però è connesso e quindi l'assurdo. Similmente per \( \displaystyle {X}_{{2}} \).

Sulla tua dimostrazione ci devo ragionare un po'...

[squalllionheart]

sarà l'ora ma non ti seguo, non ho capito come sfrutti l'intersezione...per sfruttare il fatto che una funzione definita su uno spazio topologico è connesso se e solo se e solo se ogni funzione a valori discreti è continua, come faresti?