Esercizio di connessione per archi

[squalllionheart]

Sia \( \displaystyle {X}={\left\lbrace{a},{b}\right\rbrace} \) con \( \displaystyle {T}_{{x}}={\left\lbrace\varphi,{X},{\left\lbrace{a}\right\rbrace}\right\rbrace} \) devo dimostrare che X è connesso e connesso per archi. Allora per la connessione basta osservare che non esistono aparti disgiunti che ricoprono \( \displaystyle {X} \) per la connessione per archi ho pensato, correggetemi se sbaglio, che un aperto in \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \) rispetto alla topologia indotta è \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right)}={\left[{0},{1}\right]}\cap{\left(-\infty,{1}\right)} \). A questo punto definisco \( \displaystyle {f{:}}{I}\to{X} \) nel seguente modo \( \displaystyle {f{{\left({\left[{0},{1}\right)}\right)}}}={a} \) e \( \displaystyle {f{{\left({1}\right)}}}={b} \) . \( \displaystyle {f} \) è un arco tra \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \).
Funge?

[gugo82]

basta osservare che non esistono aperti disgiunti che ricoprono \( \displaystyle {X} \)

Posso permettermi di farti notare che questa proposizione è falsa?

[squalllionheart]

Perchè?Certo che puoi, sono qui apposta per farmi correggere

[gugo82]

Perchè?

Perchè \( \displaystyle \emptyset,{X} \) sono due aperti disgiunti che ricoprono \( \displaystyle {X} \).

Cosa ne ricavi (ai fini della correttezza della tua affermazione precedente)?

[squalllionheart]

basta osservare che non esistono aperti disgiunti NON VUOTI che ricoprono X

[gugo82]

Appunto.

[squalllionheart]

Gugo dici che va bene il come ho giustificato la connessione per archi?
Grazie.