Esercizio di dinamica

[fed27]

Ciao atutti ho questo problema di dinamica su cui ho dei dubbi
una pallina di massa m è libera di muoversei senza attrito all'interno di una scanalatura o guida radiale situata lungo un raggio di una piattaforma circolare che ruota in un piano orizzontale con velocità angolare costante \( \displaystyle \omega \).All'istante iniziale la pallina è ferma rispetto la piattaforma è si trova nel punto di ascissa radiale x_0=1/4r.Nel sistema fisso l'unica forza orizzontale agente sulla pallina è la reazione vincolare della parete della guida varibile con la posizione della pallina ed incognita.Il moto è completamente determinato da qusta forza di cui non sappiamo nulla .Ma possiamo considerare il moto relativo.
a)quanto vale la forza centrifuga lungo l'asse x?(primo dubbio asse x del sistema centrato sul disco o asse x del sistema fisso?)
nel primo caso sarebbe \( \displaystyle {F}_{{c}}=-{\omega}^{{2}}{R} \) ma cmq dovrei specificare la distanza dal centro
nel secondo caso è piu complicata mi trovo infatti un equazione differenziale
b)calcolare velocità relativa della pallina quando giunge nel punto di ascissa x_1=3/4 r ?qui la pallina dovrebbe avere una componente radiale ed una di trascinamento .La seconda posso facilmente calcolarla ,la prima posso farlo con il teorema del lavoro con \( \displaystyle {L}=\frac{{1}}{{2}}\cdot{m}\cdot{\omega}^{{2}}{\left({{x}_{{1}}^{{2}}}-{{x}_{{0}}^{{2}}}\right)}=\frac{{1}}{{2}}{m}{{v}}^{{2}} \).Poi dovrei sommare le due velocità in quadratura
c)come ricavare la reazione vincolare R?quanto vale in x_1?Non è uguale ed opposta all'accelerazione di coriolis?
grazie

[VINX89]

a) La forza centrifuga è una forza apparente tipica di un sistema non inerziale, quindi ha senso parlarne solo se ci si riferisce ad un asse x solidale con la guida in rotazione con velocità angolare \( \displaystyle \omega \)
Non credo tu debba specificare la distanza dal centro: tale distanza è variabile, quindi si puà indicare semplicemente con \( \displaystyle {R} \)
(Il versore radiale di solito si prende uscente, quindi ti conviene prendere \( \displaystyle {F}_{{c}} \) positiva)

b)Per velocità "relativa" si intende quella che la pallina ha rispetto al sistema non inerziale, quindi c'è una sola componente parallela al raggio; la pallina, cioè, in questo sistema si muove su un segmento di retta (le due componenti ci sarebbero se si volesse calcolare la velocità in un sistema inerziale "fisso").
La forza centrifuga è centrale, quindi è conservativa; si può perciò definire un' energia potenziale tale che

\( \displaystyle {F}_{{c}}=-\frac{{{d}{U}}}{{{d}{r}}} \)

Quindi si ha \( \displaystyle {U}=-\frac{{{\omega}^{{2}}{{r}}^{{2}}}}{{2}} \)

Conoscendo le posizioni iniziale e finale si può imporre \( \displaystyle {W}=-\Delta{U} \), da cui si ricava il lavoro; successivamente si impone \( \displaystyle {W}=\Delta{E}_{{k}} \) da cui si ricava la velocità "finale" (sapendo che quella iniziale è nulla).

c)Si, la reazione è uguale ed opposta alla forza di Coriolis.

[fed27]

a) La forza centrifuga è una forza apparente tipica di un sistema non inerziale, quindi ha senso parlarne solo se ci si riferisce ad un asse x solidale con la guida in rotazione con velocità angolare \( \displaystyle \omega \)
Non credo tu debba specificare la distanza dal centro: tale distanza è variabile, quindi si puà indicare semplicemente con \( \displaystyle {R} \)
(Il versore radiale di solito si prende uscente, quindi ti conviene prendere \( \displaystyle {F}_{{c}} \) positiva)

b)Per velocità "relativa" si intende quella che la pallina ha rispetto al sistema non inerziale, quindi c'è una sola componente parallela al raggio; la pallina, cioè, in questo sistema si muove su un segmento di retta (le due componenti ci sarebbero se si volesse calcolare la velocità in un sistema inerziale "fisso").
La forza centrifuga è centrale, quindi è conservativa; si può perciò definire un' energia potenziale tale che

\( \displaystyle {F}_{{c}}=-\frac{{{d}{U}}}{{{d}{r}}} \)

Quindi si ha \( \displaystyle {U}=-\frac{{{\omega}^{{2}}{{r}}^{{2}}}}{{2}} \)

Conoscendo le posizioni iniziale e finale si può imporre \( \displaystyle {W}=-\Delta{U} \), da cui si ricava il lavoro; successivamente si impone \( \displaystyle {W}=\Delta{E}_{{k}} \) da cui si ricava la velocità "finale" (sapendo che quella iniziale è nulla).

c)Si, la reazione è uguale ed opposta alla forza di Coriolis.

grazie solo una cosa \( \displaystyle {U}=-\frac{{{\omega}^{{2}}{{r}}^{{2}}}}{{2}} \) non dovrebbe essere \( \displaystyle {U}=-{m}\frac{{{\omega}^{{2}}{{r}}^{{2}}}}{{2}} \) ?

[VINX89]

Si... la forza centrifuga è \( \displaystyle {F}_{{c}}={m}{\omega}^{{2}}{r} \), non \( \displaystyle {F}_{{c}}={\omega}^{{2}}{r} \) !!!

[freeware]

salve, scusate se resuscito questo post, l'ho trovato durante una ricerca.

dunque vorrei chiedervi un'opinione riguardo una variante di questo esercizio. supponiamo che la giostra su cui è posizionata la pallina non sia mossa da alcun motore, ma sia semplicemente in moto a velocità angolare \( \displaystyle \Omega \).

Ad un tratto la pallina è lasciata libera di scorrere dalla sua posizione radiale iniziale \( \displaystyle {r} \) fino ad una posizione \( \displaystyle {R} \). Assumo che, per effetto della forza centrifuga, questa pallina migri verso l'esterno. La giostra, prevedibilmente, dovrebbe rallentare sino a velocità angolare \( \displaystyle \omega \), per effetto "ballerina".

Ora, io mi faccio sto conto: non intervengono forze o momenti esterni, quindi vale la conservazione del momento angolare:

\( \displaystyle {m}{{r}}^{{2}}\Omega={m}{{R}}^{{2}}\omega\Rightarrow\omega={\frac{{{r}}}{{{R}}}}\Omega \).

Per questo motivo, il lavoro della forza centrifuga sulla pallina, per farla passare da \( \displaystyle {r} \) ad \( \displaystyle {R} \), dovrebbe essere:

\( \displaystyle {d}{L}={F}_{{c}}\cdot{d}{r}={m}{{r}}^{{2}}\omega{\left({r}\right)}{d}{r}\Rightarrow{L}={\int_{{r}}^{{R}}}{m}{{r}}^{{2}}\omega{\left({r}\right)}{d}{r}={\frac{{{m}{\Omega}^{{2}}}}{{{6}{{R}}^{{4}}}}}{\left({{R}}^{{6}}-{{r}}^{{6}}\right)}\gt{0} \).

Facendomi due conti, ammesso che non abbia disimparato a fare integrali, a me viene un lavoro positivo. Questo è in accordo col fatto che la forza centrifuga sposta in avanti la pallina, nel suo verso insomma. Tutto ciò sembrerebbe vero, ma non saprei dire davvero se lo è. Infatti, se calcolassimo l'energia cinetica della pallina, scopriremmo che da \( \displaystyle {r} \) ad \( \displaystyle {R} \) diminuisce:

\( \displaystyle {T}_{{r}}={\frac{{1}}{{2}}}{m}{{r}}^{{2}}{\Omega}^{{2}},\ {T}_{{R}}={\frac{{1}}{{2}}}{m}{{R}}^{{2}}{\omega}^{{2}}\Rightarrow{T}_{{R}}-{T}_{{r}}={\frac{{1}}{{2}}}{m}{{r}}^{{2}}{\Omega}^{{2}}{\left({\frac{{{{r}}^{{2}}}}{{{{R}}^{{2}}}}}-{1}\right)}\lt{0} \)

Com'è possibile che effettuando un lavoro POSITIVO sulla pallina, la sua energia cinetica diminuisca? dovrebbe per lo meno aumentare..di che cosa mi sto scordando?

[Falco5x]

Il tuo calcolo non tiene conto di diverse cose.
Per prima cosa la pedana diminuisce la sua velocità angolare in modo significativo solo se la sua massa è paragonabile a quella della pallina. Devi tenere conto che il momento angolare si conserva solo in senso globale, cioè sommando quello della pallina più quello della piattaforma. Dunque verosimilmente la piattaforma non rallenta affatto o quasi. Pensiamola costante tanto per semplificare un po' la trattazione.
In secondo luogo la velocità della pallina non è uguale a quella angolare moltiplicata per il raggio, quella è solo la velocità di trascinamento del luogo dove la pallina si trova, ma la pallina assume anche una velocità relativa diversa da zero rispetto alla piattaforma.
Dunque quando calcoli il lavoro come integrale della forza centrifuga questo dà luogo proprio all'energia cinetica calcolata usando la sola velocità relativa, nell'espressione della quale, dunque, la velocità angolare della piattaforma, per quanto detto, è una costante o quasi e quindi rimane fuori dall'integrale.

[freeware]

vabbe supponiamo che la pedana sia assolutamente senza peso. che non abbia inerzia. forse è un'assunzione troppo forte, ma che ci importa..in compenso ho scoperto una cosa: includendo il lavoro della forza di coriolis torna tutto. è come se la pedana esercitasse una forza che, invece di lasciar partire la pallina per la tangente, ne fissasse il moto su di un'orbita tale per cui, nel sistema di riferimento solidale con la pedana, il moto della pallina è solo radiale. ti sembra razionale come cosa?

[Falco5x]

vabbe supponiamo che la pedana sia assolutamente senza peso. che non abbia inerzia. forse è un'assunzione troppo forte, ma che ci importa..in compenso ho scoperto una cosa: includendo il lavoro della forza di coriolis torna tutto. è come se la pedana esercitasse una forza che, invece di lasciar partire la pallina per la tangente, ne fissasse il moto su di un'orbita tale per cui, nel sistema di riferimento solidale con la pedana, il moto della pallina è solo radiale. ti sembra razionale come cosa?

Quello che si può dire è che se la pedana ha massa zero la pallina ha moto solo radiale (nel sistema relativo) e la sua energia si conserva (nel sistema assoluto), nel senso che passa da essere puramente traslazionale a tralazionale e rotazionale insieme. Infatti il puro rotolamento della pallina sulla pedana non consuma energia, e nemmeno c'è trasferimento di energia dalla pedana alla pallina visto che la pedana non ha energia essendo a massa nulla.
In secondo luogo la forza di Coriolis non fa lavoro perché è ortogonale alla velocità (nel sistema relativo), dunque l'unica forza da considerare è quella centrifuga.
Noto infine che questo problema è oggettivamente difficile, quando l'ho risolto anni fa in un forum delle olimpiadi di fisica ho ricevuto un sacco di obiezioni (e il caso era più facile perché la pedana andava a omega costante).

[freeware]

ma se nel sistema assoluto l'energia si conserva, oltre alla variazione di energia cinetica ed al lavoro della forza centrifuga, di cosa devo tenere conto? io nel sistema assoluto terrei conto del lavoro della reazione vincolare della pedana, solo tangenziale e pari a quello della forza di coriolis, perché vincola la pallina su una traiettoria precisa. la tua obiezione sul lavoro della forza di coriolis è sacrosanto ma nel sistema di riferimento relativo. in quello assoluto, a causa della reazione vincolare, a me verrebbe di dire che devo tenerne conto. Tu pensi che debba comunque ignorarlo?

[Falco5x]

ma se nel sistema assoluto l'energia si conserva, oltre alla variazione di energia cinetica ed al lavoro della forza centrifuga, di cosa devo tenere conto? io nel sistema assoluto terrei conto del lavoro della reazione vincolare della pedana, solo tangenziale e pari a quello della forza di coriolis, perché vincola la pallina su una traiettoria precisa. la tua obiezione sul lavoro della forza di coriolis è sacrosanto ma nel sistema di riferimento relativo. in quello assoluto, a causa della reazione vincolare, a me verrebbe di dire che devo tenerne conto. Tu pensi che debba comunque ignorarlo?

Nel sistema assoluto la forza di Coriolis non esiste, esiste solo la forza reattiva esercitata dai vincoli.
Allora il centro della pedana dove questa è incernierata non fa lavoro perché la forza del vincolo non sposta il punto di applicazione. E nemmeno l'attrito statico della pedana sulla pallina fa lavoro per lo stesso motivo (la parola statico spiega da sola il fenomeno). Dunque l'energia si sposta soltanto da traslazionale a rotazionale, ma complessivamente rimane inalterata.