Esercizio di logica

[Neptune]

Sto iniziando a ripetere gli argomenti vecchi, ho deciso che da oggi in poi in matematica studierò, oltre che l'argomento del giorno, almeno un argomento vecchio. Per potermeli rinfrescare.

Andando oltre questo breve preambolo oggi stavo facendo un pò di esercizi di logica e volevo sapere se questo metodo di risoluzione era giusto e se magari esistesse qualche procedimento più pratico.

L'esercizio dice:
\( \displaystyle {p}\to{q} \) è falsa, allora qual'è il valore di verità di \( \displaystyle \sim{p}\bigwedge{q}\leftrightarrow{p}\vee{q} \)

Il mio procedimento di risoluzione è il seguente:

\( \displaystyle {p}\to{q} \) è falsa significa \( \displaystyle {p} \) vera e \( \displaystyle {q} \) falsa

ora per vedere il valore di questa: \( \displaystyle \sim{p}\bigwedge{q}\leftrightarrow{p}\vee{q} \) dobbiamo scomporla in una dobbia implicazione

quindi \( \displaystyle \sim{p} \) falsa \( \displaystyle \bigwedge{q} \) falsa \( \displaystyle \to{p} \) vera \( \displaystyle \vee{q} \) falsa
ovvero falso \( \displaystyle \to \) vero è vero

Al contrario abbiamo che vero \( \displaystyle \to \) falso ed è falso.

In conclusione possiamo dire che: \( \displaystyle \sim{p}\bigwedge{q}\leftrightarrow{p}\vee{q} \) è quindi falsa.

Ho detto bene? si potrebbe svolgere meglio?

[mod="Paolo90"]Corretto il titolo. "Esercuzio" era una variante decisamente bruttina. [/mod]

[WiZaRd]

OK. Solo, se vuoi, puoi evitare di spezzare la coimplicazione con una doppia implicazione: basta usare la tavola di verità di \( \displaystyle \iff \)

[Neptune]

OK. Solo, se vuoi, puoi evitare di spezzare la coimplicazione con una doppia implicazione: basta usare la tavola di verità di \( \displaystyle \iff \)

Cioè se sono entrambi veri allora la doppia implicazione è vera; Se sono entrambi falsi lo è ancora; Nel nostro caso che uno è vero e l'altro è falso allora l'implicazione è falsa?

No perchè sono abituato a spezzarla in due (la professoressa fa sempre così) e allora non la ricordo bene.

[WiZaRd]

Sì, esatto.

[Neptune]

Ecco un'altro esercizio di logica, devo verificare se è vera o falsa la seguente formula:

\( \displaystyle \forall{x}\in{\mathbb{R}}^{+}\exists{y}\in\mathbb{R}{t}.{c}\sqrt{{{{y}}^{{2}}+{1}}}={2}{x} \)

Ovvero questa la leggo dicendo che, qualsiasi valore io do alla X devo trovare almeno una y che mi soddisfi quella formula. Ovviamente il tutto nei rispettivi domini.

Dunque se "per ogni x esiste una y" mi conviene calcolarmi y in funzione di x, no?

Ovvero posso dire che:

\( \displaystyle {{y}}^{{2}}+{1}={{\left({2}{x}\right)}}^{{2}} \)

ovvero \( \displaystyle {{y}}^{{2}}={{\left({2}{x}\right)}}^{{2}}-{1} \)

ovvero \( \displaystyle {y}={2}{x}-\sqrt{{{1}}} \) **

quindi \( \displaystyle {y}={2}{x}-{1} \)

A questo punto devo dire che per ogni valore che do ad x, esiste almeno una y tale che quella formla sia vera?
Direi di contando che qualsiasi valore reale positivo do alla x avrò comunque in corrispondenza un valore reale. O no?

Sono giusto un pò perplesso su come ho scomposto la radice quadrata, nel passaggio contrassegnato con **.
Ovvero devo a forza mettere anche il meno sotto radice? perchè a quel punto non saprei "trattarla" la radice di \( \displaystyle -{1} \). Temo però che quel passaggio non si possa fare (però guardando le varie proprietà notevoli dei radicali non sono riuscito a trovare nulla che mi viene incontro).

[Paolo90]

Sono giusto un pò perplesso su come ho scomposto la radice quadrata, nel passaggio contrassegnato con **.
Ovvero devo a forza mettere anche il meno sotto radice? perchè a quel punto non saprei "trattarla" la radice di \( \displaystyle -{1} \). Temo però che quel passaggio non si possa fare (però guardando le varie proprietà notevoli dei radicali non sono riuscito a trovare nulla che mi viene incontro).

Temi bene. Fai attenzione!
\( \displaystyle \sqrt{{{a}+{b}}} \) NON è \( \displaystyle \sqrt{{a}}+\sqrt{{b}} \). Per convincertene puoi pensare a \( \displaystyle \sqrt{{{9}+{16}}}={5}\ne\sqrt{{{9}}}+\sqrt{{{16}}}={7} \)...

Alla luce di questa fondamentale correzione prova a rivedere il finale... e facci sapere.

[Neptune]

Ecco un'altro esercizio di logica, devo verificare se è vera o falsa la seguente formula:

\( \displaystyle \forall{x}\in{\mathbb{R}}^{+}\exists{y}\in\mathbb{R}{t}.{c}\sqrt{{{{y}}^{{2}}+{1}}}={2}{x} \)

Ovvero questa la leggo dicendo che, qualsiasi valore io do alla X devo trovare almeno una y che mi soddisfi quella formula. Ovviamente il tutto nei rispettivi domini.

Dunque se "per ogni x esiste una y" mi conviene calcolarmi y in funzione di x, no?

Ovvero posso dire che:

\( \displaystyle {{y}}^{{2}}+{1}={{\left({2}{x}\right)}}^{{2}} \)

ovvero \( \displaystyle {{y}}^{{2}}={{\left({2}{x}\right)}}^{{2}}-{1} \)

ovvero \( \displaystyle {y}={2}{x}-\sqrt{{{1}}} \) **

quindi \( \displaystyle {y}={2}{x}-{1} \)

A questo punto devo dire che per ogni valore che do ad x, esiste almeno una y tale che quella formla sia vera?
Direi di contando che qualsiasi valore reale positivo do alla x avrò comunque in corrispondenza un valore reale. O no?

Sono giusto un pò perplesso su come ho scomposto la radice quadrata, nel passaggio contrassegnato con **.
Ovvero devo a forza mettere anche il meno sotto radice? perchè a quel punto non saprei "trattarla" la radice di \( \displaystyle -{1} \). Temo però che quel passaggio non si possa fare (però guardando le varie proprietà notevoli dei radicali non sono riuscito a trovare nulla che mi viene incontro).

Difatti quella operazione sulla radice non si può fare, è di pura fantasia ^^

Questo è il procedimento che invece credo sia giusto, ovvero:

\( \displaystyle \sqrt{{{{y}}^{{2}}+{1}}}={2}{x} \)
\( \displaystyle {{y}}^{{2}}+{1}={{\left({2}{x}\right)}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {{y}}^{{2}}={{\left({2}{x}\right)}}^{{2}}-{1} \)
\( \displaystyle {{y}}^{{2}}={4}{{x}}^{{2}}-{1} \)

Quest'ultima affermazione si può dire che non è sempre vera prendendo ad esempio:

\( \displaystyle {x}={1}\in{\mathbb{R}}^{+} \) allora ho che \( \displaystyle {{y}}^{{2}}={3} \) e credo che non esiste un quadrato perfetto che mi dia come risultato 3. O sbaglio?

[Neptune]

Perchè io nella traccia iniziale ho che "per Ogni X Esiste Y" ovvero qualsiasi valore do ad X devo SEMPRE trovare una Y.
Ho dato \( \displaystyle {x}={1} \) e mi sono accorto che non riesco a trovare una Y, quindi è falsa, no? O magari e a me che sfugge come calcolarmela quella y?

[Neptune]

Forse però anche qui mi sto ingarbugliando con i \( \displaystyle \exists \) e \( \displaystyle \forall \).

Ovvero so che è differente dire \( \displaystyle \exists{y}\forall{x} \) e \( \displaystyle \forall{x}\exists{y} \) però è una differenza molto sottile e mi ci sto perdendo.


Ovvero \( \displaystyle \exists{y}\forall{x} \) lo leggo dicendo che esistema almeno una \( \displaystyle {y} \) che rende \( \displaystyle {p}{\left({x},{y}\right)} \) vera per ogni \( \displaystyle {x} \)

Invece \( \displaystyle \forall{x}\exists{y} \) significa che per ogni \( \displaystyle {x} \) posso trovare almeno una \( \displaystyle {y} \) che rende vera \( \displaystyle {p}{\left({x},{y}\right)} \)

Ma poi non riesco a sfruttare bene questa cosa ai fini dell'esercizio.

[Paolo90]

Qualche considerazione.

1. le tue variabili \( \displaystyle {x},{y} \) stanno in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{+} \) e in \( \displaystyle \mathbb{R} \): perchè dunque dici quadrati perfetti? Prendi \( \displaystyle {y}=\sqrt{{3}} \):il suo quadrato è... . Tuttavia, non pensare di essere arrivato alla fine dell'esercizio. Prova un po' a sostituire \( \displaystyle {x}=\frac{{1}}{{4}} \): che cosa succede? Sapresti spiegare perchè? Che conclusioni puoi trarre?

2. Sui quantificatori. Anche qui faccio appello al mitico prof di Analisi e alla sue metafore molto valide a livello didattico. La faccio breve: sia \( \displaystyle {M} \) l'insieme degli studenti maschi di una classe e \( \displaystyle {F} \) l'insieme delle studentesse di questa classe.

\( \displaystyle \forall{m}\in{M},\ \text{ }\ \exists{f{\in}}{F}\ \text{ tale che }\ {f{\ \text{ esce con }\ }}{m} \): il senso di questa frase? Ovvio, ogni boy ha la sua fanciulla.

\( \displaystyle \exists{f{\in}}{F},\ \text{ }\ \forall{m}\in{M}\ \text{ tale che }\ {f{\ \text{ esce con }\ }}{m} \): questa volta la tipa è una sola, che esce con tutti i boys.

Cambia il senso, vero?