Esercizio di teoria dei numeri (Davenport)

[pippo93]

salve, vorrei sapere cosa pensate dello svolgimento di questo esercizio (1.14 dal Davenport):

Dimostrare che se \( \displaystyle {p} \) e \( \displaystyle {q} \) sono primi dispari \( \displaystyle {{p}}^{{a}}\cdot{{q}}^{{b}} \) non può essere perfetto.

Se \( \displaystyle {p} \) e \( \displaystyle {q} \) sono primi la somma dei divisori di \( \displaystyle {{p}}^{{a}}\cdot{{q}}^{{b}} \) è \( \displaystyle \sigma{\left({{p}}^{{a}}{{q}}^{{b}}\right)}={\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)}{\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)} \), quindi bisogna dimostrare che l'uguaglianza \( \displaystyle \sigma{\left({{p}}^{{a}}{{q}}^{{b}}\right)}={2}{{p}}^{{a}}{{q}}^{{b}} \) è impossibile con le ipotesi fatte in precedenza (Ricordo che un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso, ma incluso 1).

Suppongo che l'uguaglianza possa essere vera e cerco qualche assurdo:

Solo uno tra \( \displaystyle {\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)} \) dev'essere pari perchè \( \displaystyle {\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)}{\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)}={2}{{p}}^{{a}}{{q}}^{{b}} \) ci dice che il loro prodotto dev'essere divisibile solo per \( \displaystyle {2} \) e non per \( \displaystyle {4} \).

Supponiamo che \( \displaystyle {\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)} \) sia pari.

Allora \( \displaystyle {\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)}={2}{{q}}^{{b}} \) (1)

e

\( \displaystyle {\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)}={{p}}^{{a}} \), (2)

infatti il primo membro della (1) diviso per \( \displaystyle {p} \) dà resto \( \displaystyle {1} \) e quindi la sua fattorizzazione non contiene \( \displaystyle {p} \), il primo membro della (2) diviso per \( \displaystyle {q} \) dà resto \( \displaystyle {1} \) e quindi \( \displaystyle {q} \) non può comparire nella sua fattorizzazione.

\( \displaystyle {\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)}=\frac{{{\left({{q}}^{{{b}+{1}}}-{1}\right)}}}{{{q}-{1}}}={{p}}^{{a}} \) (dalla (2)) Quindi \( \displaystyle {{q}}^{{{b}+{1}}}-{1}={{p}}^{{{a}+{h}}}\cdot{{t}}^{{k}} \) e \( \displaystyle {q}-{1}={{p}}^{{h}}\cdot{{t}}^{{k}} \), ora, se \( \displaystyle {t} \) non può essere dispari perchè si avrebbe da una delle ultime uguaglianze che la differenza di due numeri dispari è dispari. Quindi, sottraendo membro a membro l'ultima equazione dalla penultima si ha: \( \displaystyle {{q}}^{{{b}+{1}}}-{q}={{t}}^{{k}}{\left({{p}}^{{{a}+{h}}}-{{p}}^{{h}}\right)} \). \( \displaystyle {{t}}^{{k}} \) dev'essere multiplo di \( \displaystyle {q} \), ma da \( \displaystyle {q}-{1}={{p}}^{{h}}\cdot{{t}}^{{k}} \) si vede che il primo membro non è divisibile per \( \displaystyle {q} \) (perchè dà resto -1) e il secondo si. Questo dovrebbe essere l'assurdo che cercavo.

Pensate che sia giusta? Se si avete pensato qualcosa di meglio, di più semplice?

[Lord K]

...Quindi, sottraendo membro a membro l'ultima equazione dalla penultima si ha: \( \displaystyle {{q}}^{{{b}+{1}}}-{q}={{t}}^{{k}}{\left({{p}}^{{{a}+{h}}}-{{p}}^{{h}}\right)} \). \( \displaystyle {{t}}^{{k}} \) dev'essere multiplo di \( \displaystyle {q} \), ma da \( \displaystyle {q}-{1}={{p}}^{{h}}\cdot{{t}}^{{k}} \) si vede che il primo membro non è divisibile per \( \displaystyle {q} \) (perchè dà resto -1) e il secondo si. Questo dovrebbe essere l'assurdo che cercavo.

Perchè non può essere (come infatti è) che:

\( \displaystyle {{t}}^{{k}}{\mid}{{q}}^{{{b}+{1}}}-{1} \)

\( \displaystyle {{t}}^{{k}} \) non neseccariamente è multiplo di \( \displaystyle {q} \)!

P.S. per la soluzione ci sto pensando!

[pippo93]

Salve a tutti, tento di resuscitare questo topic dato che credo di aver risolto il problema (sperando di non aver commesso errori grossolani come quelli precedenti).

moltiplicando entrambi i membri di \( \displaystyle {\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)}={2}{{q}}^{{b}} \) per \( \displaystyle {p}-{1} \) si ha: \( \displaystyle {{p}}^{{{a}+{1}}}-{1}={2}{{q}}^{{b}}\cdot{\left({p}-{1}\right)} \). Moltiplicando entrambi i membri di \( \displaystyle {\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)}={{p}}^{{a}} \) per \( \displaystyle {q}-{1} \) si ha : \( \displaystyle {{p}}^{{a}}\cdot{\left({q}-{1}\right)}={{q}}^{{{b}+{1}}}-{1} \). Sommando membro a membro le uguaglianze ottenute: \( \displaystyle {{p}}^{{a}}{\left({p}+{q}-{1}\right)}={{q}}^{{b}}{\left({p}+{q}+{1}\right)} \).

Essendo comprimi sia \( \displaystyle {{p}}^{{a}} \) e \( \displaystyle {{q}}^{{b}} \) che \( \displaystyle {\left({p}+{q}-{1}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({p}+{q}+{1}\right)} \), infatti se \( \displaystyle {p}+{q}-{1} \) e \( \displaystyle {p}+{q}+{1} \) avessero un divisore comune allora questo sarebbe \( \displaystyle {2} \), ma ciò è assurdo perchè sia \( \displaystyle {p} \) che \( \displaystyle {q} \) sono dispari, dovrà essere \( \displaystyle {{p}}^{{a}}={p}+{q}+{1} \) e \( \displaystyle {{q}}^{{b}}={p}+{q}-{1} \), sottraendo membro a membro : \( \displaystyle {{p}}^{{a}}-{{q}}^{{b}}={2} \)

Ma guardando \( \displaystyle {\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)}={{p}}^{{a}} \) si vede che \( \displaystyle {q} \) non può essere che \( \displaystyle {1} \), ma ciò è ovviamente assurdo, quindi \( \displaystyle {p} \) e \( \displaystyle {q} \) non possono essere entrambi dispari.

Che ne pensate? E' la dimostrazione è giusta?

Piccolo chiarimento: L'ipotesi che entrambi i primi siano dispari, che ci porterà in ogni caso all'assurdo, viene sfruttata quando dall'equazione \( \displaystyle {\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)}{\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)}={2}{{p}}^{{a}}\cdot{{q}}^{{b}} \) ricaviamo \( \displaystyle {\left({1}+{p}+{{p}}^{{2}}+\ldots+{{p}}^{{a}}\right)}={2}{{q}}^{{b}} \) e
\( \displaystyle {\left({1}+{q}+{{q}}^{{2}}+\ldots+{{q}}^{{b}}\right)}={{p}}^{{a}} \)

Grazie a tutti della pazienza