Esercizio di topologia

[squalllionheart]

Devo dire se i seguenti insiemi sono connessi e trovare il gruppo fondamentale:
\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}}- \){punto} conesso con grupppo fondamentale banale
\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}}- \){retta} connesso con gruppo fondamentale \( \displaystyle \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}}- \){piano} sconesso con gruppo fondamentale formato da due punti
P.s
il primo caso come giustifico che è banale?

[pat87]

Il primo insieme è omotopicamente equivalente a \( \displaystyle {{S}}^{{2}} \) quindi se hai la dimostrazione che il gruppo fondamentale di \( \displaystyle {{S}}^{{2}} \) è banale sei a posto.

[squalllionheart]

In generale abbiamo \( \displaystyle {{S}}^{{n}}-{\left\lbrace{p}\right\rbrace} \) omeomorfo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) e \( \displaystyle {{S}}^{{n}} \) omotopo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{{n}+{1}}}-{\left\lbrace{p}\right\rbrace} \)
P.s
Colgo l'occasione per chiederi una cretinata, dire gruppo fondamentale banale o dire omotopo a un punto è la stessa cosa?

[vict85]

no... La sfera ha gruppo fondamentale banale ma non è uno spazio semplicemente connesso...

[squalllionheart]

Guarda che tii sbagli \( \displaystyle {{S}}^{{2}} \) è semplicemente connessa, perchè ha gruppo fondamentale banale ed è connessa per archi. Forse volevi dire che è semplicemente connessa ma non contraibile?

[pat87]

Sì è vero, per un insieme connesso gruppo fondamentale banale e semplicemente connesso sono equivalenti.

[squalllionheart]

Grazie;) Scusa posso chiederti una cosa riferita ad un altro topic?