Volevo sapere se sono giusti i miei ragionamenti riguardo quest'esercizio :
Prima di tutto determino la dimensione di \( \displaystyle {H} \), calcolando il rango di \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&-{1}&{0}&{1}\\{2}&{1}&{1}&{0}\\{3}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{1}&-{1}&{0}}\right)} \), trovando che \( \displaystyle \dim{\left({H}\right)}={3} \) e \( \displaystyle {B}_{{H}}={\left\lbrace{\left({1},-{1},{0},{1}\right)},{\left({2},{1},{1},{0}\right)},{\left({0},{1},-{1},{0}\right)}\right\rbrace} \).
A questo punto so che \( \displaystyle {H} \) ha \( \displaystyle {n}-{h} \) equazioni \( \displaystyle {\left({4}-{3}={1}\right)} \), e le calcolo da \( \displaystyle {\left(\matrix{{x}&{y}&{z}&{t}\\{1}&-{1}&{0}&{1}\\{2}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{1}&-{1}&{0}}\right)} \) orlando il minore fondamentale \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&-{1}\\{2}&{1}}\right)} \), da ciò ho che l'equazione di \( \displaystyle {H} \) è \( \displaystyle {x}-{3}{z}+{y}={0} \).
Riguardo ai valori di \( \displaystyle {t} \) per cui \( \displaystyle {u}\in{H} \), ho calcolato il rango della matrice completa \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&-{1}&{0}&{1}&{\mid}{1}\\{2}&{1}&{1}&{0}&{\mid}-{1}\\{3}&{0}&{1}&{1}&{\mid}{2}{t}-{8}\\{0}&{1}&-{1}&{0}&{\mid}{t}+{1}}\right)} \), ed ho che \( \displaystyle {u}\in{H} \) per qualsiasi valore di \( \displaystyle {t} \), anche se non credo sia corretto, poichè quando vado a calcolare il coordinato di \( \displaystyle {u} \) nella base \( \displaystyle {B}_{{H}} \), ho che il sistema è incompatibile, come è possibile??.
Per l'ultima parte, suppongo che per calcolare il complemento ortogonale, risolvo il sistema omogeneo associato alla base di \( \displaystyle {H} \), in seguito, poichè il complemento ortogonale è un sottospazio supplementare ho che \( \displaystyle \dim{\left({{H}}^{\bot}\right)}={1} \), avente \( \displaystyle {n}-{h}={3} \) equazioni.
Grazie in anticipo!
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