Esercizio gruppi isomorfi

[lewis]

Sia \( \displaystyle {N}={C}_{{6}} \) un gruppo ciclico di ordine 6.
a) Provare che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)}\stackrel{\sim}{=}{C}_{{2}} \) (non so se sia il simbolo giusto...)
b) Determinare tutti gli endomorfismi di \( \displaystyle {C}_{{2}} \)
c) Dimostrare che tutti i prodotti semidiretti tra N e \( \displaystyle {C}_{{2}} \) sono isomorfi a \( \displaystyle {C}_{{6}}{X}{C}_{{2}} \) o a \( \displaystyle {D}_{{12}} \), il gruppo diedrale di ordine 12.

RISOLUZIONE
Dunque:
\( \displaystyle {C}_{{6}}={\left\lbrace{1}_{{C}},{a},{{a}}^{{2}},{{a}}^{{3}},{{a}}^{{4}},{{a}}^{{5}}\right\rbrace}=\lt{a}\gt \)
\( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) è il gruppo degli automorfismi di G, cioè degli isomorfismi di G in sè (primo problema: ma G chi è? Si intende forse N? Sarà un errore di testo? Secondo problema: negli appunti delle lezioni abbiamo definito l'automorfismo come un omomorfismo di G in sè, mentre sul libro è definito come un isomorfismo da G in sè.)

In generale in questi casi devo trovare un isomorfismo che vada da \( \displaystyle {C}_{{2}} \) a \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)} \) (o anche viceversa). Ma come lo trovo? Come faccio a sapere come è fatto \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({G}\right)} \)?
In generale, in questi casi, come faccio ad inventarmi un isomorfismo?

Grazie in anticipo.

[mistake89]

Un automorfismo è un omomorfismo ingettivo (quindi un isomorfismo) di \( \displaystyle {G} \) in se stesso. Essendo ingettivo, sai che preserva i periodi. Detto abbastanza volgarmente si tratta di trovare quanti isomorfismi mandano generatori in generatori...

Sai che in \( \displaystyle {C}_{{6}} \) i generatori sono \( \displaystyle \phi{\left({6}\right)}={2} \), cioè \( \displaystyle {a} \) ed \( \displaystyle {{a}}^{{5}} \), allora avrai, oltre all'automorfismo identico, anche quello che manda \( \displaystyle {a}\to{{a}}^{{5}} \).
Perciò \( \displaystyle {\left|{A}{u}{t}{\left({G}\right)}\right|}={2} \) e sappiamo che l'unico gruppo di ordine 2 è proprio \( \displaystyle {C}_{{2}} \).

Altri automorfismi non è possibile che esistano, perché gli altri elementi hanno periodo diverso!

PS Scusami avrò scritto il tutto da cani ma vado di fretta

[lewis]

Grazie, è chiarissimo.

Nel frattempo ho provato a risolvere il punto b)
Gli endomorfismi sono invece omomorfismi da G in sè, quindi non biiettivi.

\( \displaystyle {C}_{{2}}={\left\lbrace{1},{c}\right\rbrace} \)

In pratica devo trovare delle applicazioni da \( \displaystyle {C}_{{2}} \) in se stesso che preservino la moltiplicazione.
Uno è l'identità, che manda gli elementi in se stessi.
L'altra applicazione che soddisfa le condizioni è
\( \displaystyle \phi:{C}_{{2}}\rightarrow{C}_{{2}} \) tale che
\( \displaystyle \phi{\left({1}\right)}={1} \)
\( \displaystyle \phi{\left({c}\right)}={1} \)
(A me pare ben posto trattandosi di applicazioni non biiettive.)
Infatti \( \displaystyle \phi{\left({1}\cdot{c}\right)}=\phi{\left({c}\right)}={1} \)
\( \displaystyle \phi{\left({1}\right)}\cdot\phi{\left({c}\right)}={1}\cdot{1}={1} \)

Mi sembrano gli unici endomorfismi possibili: infatti, sia quello che manda entrambi gli elementi in \( \displaystyle {c} \), sia quello che "scambia" gli elementi tra loro non preservano i prodotti.
E' corretto?

Grazie dell'aiuto e, vista l'ora, buon appetito!

[mistake89]

Anche io direi di sì, anche perché \( \displaystyle \phi{\left({1}\right)} \) deve essere necessariamente \( \displaystyle {1} \).

[lewis]

Anche io direi di sì, anche perché \( \displaystyle \phi{\left({1}\right)} \) deve essere necessariamente \( \displaystyle {1} \).

E' vero, non ci avevo pensato.

Suggerimenti per il terzo punto?

Ciao e grazie

[lewis]

I miei scarsi progressi:
Dunque, il prodotto semidiretto di due gruppi, \( \displaystyle {C}_{{6}} \) e \( \displaystyle {C}_{{2}} \) nel mio caso è il prodotto cartesiano dei due gruppi munito dell'operazione:
\( \displaystyle {\left({a}_{{1}},{b}_{{1}}\right)}\cdot{\left({a}_{{2}},{b}_{{2}}\right)}={\left({a}\cdot\psi_{{{b}_{{1}}}}{\left({a}_{{2}}\right)},{b}_{{1}}{b}_{{2}}\right)} \)
dove \( \displaystyle \psi \) è un omomorfismo che va da \( \displaystyle {C}_{{2}} \) ad \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({C}_{{6}}\right)} \) (o il contrario?) e \( \displaystyle {a}_{{i}}\in{C}_{{6}} \) e \( \displaystyle {b}_{{j}}\in{C}_{{2}} \).
Abbiamo visto prima che tra i due gruppi ci sono sicuramente due isomorfismi (che sono comunque omomorfismi), cioè l'identità e quello che mandava \( \displaystyle {a}\rightarrow{{a}}^{{5}} \)
Ma ce ne sono altri? E poi in generale come rappresento il mio gruppo semidiretto? Cioè, come lo scrivo esplicitamente?

Grazie dell'aiuto

[j18eos]

Da quanto hai premesso non ce ne possono essere altri in quanto \( \displaystyle C_2\cong\mathrm{Aut}(C_6) \) per cui, a meno d'isomorfismi: \( \displaystyle C_6\rtimes_{\psi}C_2\in\{C_6\times C_2;\,D_{12}\} \) (prodotto semidiretto di \( \displaystyle C_6 \) e \( \displaystyle C_2 \) mediante l'omomorfismo \( \displaystyle \psi \) di \( \displaystyle C_2 \) in \( \displaystyle \mathrm{Aut}(C_6) \) , o se preferisci mediante l'endomorfismo \( \displaystyle \psi \) di \( \displaystyle C_2 \) , o se preferisci ancora mediante l'azione gruppale \( \displaystyle \psi \) di \( \displaystyle C_2 \) su \( \displaystyle C_6 \) ).

[lewis]

Non ho capito molto bene...
Cerco di spiegare cosa non mi è chiaro:
Dunque, io so che \( \displaystyle {C}_{{2}} \) è isomorfo ad \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({C}_{{6}}\right)} \), quindi ci sono degli isomorfismi che da \( \displaystyle {C}_{{2}}\rightarrow{A}{u}{t}{\left({C}_{{6}}\right)} \).
Ma il prodotto diretto è definito tramite un omomorfismo: quindi oltre a \( \displaystyle {i}{d} \) e \( \displaystyle \phi \) (gli isomorfismi trovati al punto 1) potrebbero esserci degli omomorfismi.
Tu dici che non ce ne possono essere: perchè?

Poi in generale non ho capito molto bene come hai fatto a "vedere" il prodotto semidiretto. E' il primo esercizio che faccio sull'argomento, non sono molto ferrata...
In generale, scrivednolo secondo la definizione, con \( \displaystyle {a}_{{1}},{a}_{{2}}\in{C}_{{6}} \) e \( \displaystyle {b}_{{1}},{b}_{{2}}\in{C}_{{2}} \)
l'elemento tipo di \( \displaystyle C_6 \rtimes_{\psi}C_2 \) sarebbe \( \displaystyle {(a_i \psi_{b_1} (a_2), b_1 b_2)} \)

Se considero come \( \displaystyle \psi \) l'identità, a cosa è uguale \( \displaystyle a_i \psi_{b_1} (a_2) \) ?
E' questo che mi blocca un po'...(tra le tante cose )
Grazie per l'aiuto e buona giornata

PS: Mi scuso per il miscuglio di Tex e ASCIIMathML, il secondo lo so usare un pochino di più ma a volte non trovo i simboli giusti

[j18eos]

Ripeto: essendo \( \displaystyle C_2\cong\mathrm{Aut}(C_6) \) gli omomorfismi di \( \displaystyle C_2 \) in \( \displaystyle \mathrm{Aut}(C_6) \) non sono altri che gli endomorfismi di \( \displaystyle C_2 \) ; tu hai provato che tali endomorfismi sono solo 2 o mi sbaglio?

Per quanto riguarda il prodotto semidiretto non è il tuo obiettivo!?

Tornando al caso che \( \displaystyle \psi=id \) sarebbe, secondo la tua notazione: \( \displaystyle \psi_1=\iota_{C_6};\,\psi_a=\overline\psi\in\mathrm{Aut}C_6 \) ove \( \displaystyle \overline\psi:\forall b\in C_6\to\dot\exists b^{-1}\in C_6 \) ; in quanto l'immagine di un elemento di \( \displaystyle C_2 \) mediante \( \displaystyle \psi \) è un automorfismo di \( \displaystyle C_6 \) !

Purtroppo il prodotto semidiretto di gruppi è imbroglioso anche per me che lo conosco da anni , quindi non credo di averti chiarito tutto!
Continua a chiedere cosa non ti sia ancora chiaro.

[lewis]

Ripeto: essendo \( \displaystyle C_2\cong\mathrm{Aut}(C_6) \) gli omomorfismi di \( \displaystyle C_2 \) in \( \displaystyle \mathrm{Aut}(C_6) \) non sono altri che gli endomorfismi di \( \displaystyle C_2 \) ; tu hai provato che tali endomorfismi sono solo 2 o mi sbaglio?

Ok, ho capito, grazie.

Tornando al caso che \( \displaystyle \psi=id \) sarebbe, secondo la tua notazione: \( \displaystyle \psi_1=\iota_{C_6};\,\psi_a=\overline\psi\in\mathrm{Aut}C_6 \) ove \( \displaystyle \overline\psi:\forall b\in C_6\to\dot\exists b^{-1}\in C_6 \) ; in quanto l'immagine di un elemento di \( \displaystyle C_2 \) mediante \( \displaystyle \psi \) è un automorfismo di \( \displaystyle C_6 \) !

Aspetta, mi sto incasinando con la notazione. Faccio un piccolo riepilogo, ok?
\( \displaystyle {C}_{{6}}=\lt{a}\gt \)
\( \displaystyle {C}_{{2}}=\lt{b}\gt \)
Io devo trovare gli elementi di \( \displaystyle C_6 \rtimes{\psi}C_2 \) che sono della forma \( \displaystyle {\left({a}_{{1}}\cdot\psi_{{{b}_{{1}}}}\cdot{a}_{{2}},{b}_{{1}}\cdot{b}_{{2}}\right)} \) (uso un unico simbolo per le operazioni dei due gruppi per velocità)

Se \( \displaystyle \psi={i}{d} \), allora \( \displaystyle {i}{d}_{{{b}_{{1}}}}={i}{d}{\left({b}_{{1}}\right)}={b}_{{1}} \), e \( \displaystyle {a}_{{1}}\cdot{i}{d}_{{{b}_{{1}}}}\cdot{a}_{{2}}={a}_{{1}}\cdot{b}_{{1}}\cdot{a}_{{2}} \) e il genercio elemento è
\( \displaystyle {\left({a}_{{1}}\cdot{b}_{{1}}\cdot{a}_{{2}},{b}_{{1}}\cdot{b}_{{2}}\right)} \) ma che operazione uso, visto che gli \( \displaystyle {a}_{{i}} \) e i \( \displaystyle {b}_{{j}} \) appartengono a gruppi diversi?

(Probabilmente è una domanda assurda che dimostra ch non ho capito niente, e mi scuso in anticipo per il tempo che ti sto facendo perdere)
Questo accidenti di prodotto semidiretto!! Non lo capisco!!