Esercizio - Gruppo simmetrico $S_n$

[Seneca]

Esercizio: Si verifichi se in \( \displaystyle S_6 \) esiste una permutazione \( \displaystyle \mu \) tale che \( \displaystyle \mu ( 1 2 3 4 5 6 ) \mu^{-1} = ( 1 2 3 ) ( 4 5 6 ) \)

Idee non me ne vengono. Qualche consiglio?

[maurer]

Beh, la struttura ciclica è preservata dal coniugio, no?
Vale anche di più: due permutazioni sono coniugate se e solo se...

[Seneca]

Beh, la struttura ciclica è preservata dal coniugio, no?
Vale anche di più: due permutazioni sono coniugate se e solo se...

Il punto è che io dell'azione di coniugio non so niente, non essendo trattata dal mio testo e non avendola trattata a lezione. C'è un altro modo di vedere l'esercizio?

Grazie.

[Martino]

Basta fare un conto: chiama \( \displaystyle s=(123456) \) , e considera \( \displaystyle \sigma = \mu s \mu^{-1} \) . Si ha:

\( \displaystyle \sigma(\mu(1)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(1)) = \mu(s(1)) = \mu(2) \) ,
\( \displaystyle \sigma(\mu(2)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(2)) = \mu(s(2)) = \mu(3) \) ,
\( \displaystyle \sigma(\mu(3)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(3)) = \mu(s(3)) = \mu(4) \) ,
\( \displaystyle \sigma(\mu(4)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(4)) = \mu(s(4)) = \mu(5) \) ,
\( \displaystyle \sigma(\mu(5)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(5)) = \mu(s(5)) = \mu(6) \) ,
\( \displaystyle \sigma(\mu(6)) = \mu s \mu^{-1}(\mu(6)) = \mu(s(6)) = \mu(1) \) .

Quindi anche \( \displaystyle \mu s \mu^{-1} \) e' un 6-ciclo per la precisione, e' il 6-ciclo \( \displaystyle (\mu(1)\ \mu(2)\ \mu(3)\ \mu(4)\ \mu(5)\ \mu(6)) \) .

[Seneca]

Chiarissimo. Grazie Martino.

[maurer]

Uhm... comunque saperlo non fa mai male.
Il procedimento descritto da Martino può essere svolto in tutta generalità. Ottieni che se \( \displaystyle (a_1, \ldots, a_k) \) è un k-ciclo allora \( \displaystyle \mu (a_1, \ldots, a_k) \mu^{-1} = (\mu(a_1), \ldots, \mu(a_k)) \) e quindi i cicli vengono mandati in cicli (ed hai un modo molto semplice di calcolare l'immagine).
D'altra parte il coniugio è un automorfismo e quindi se \( \displaystyle \sigma \) e \( \displaystyle \tau \) sono due cicli \( \displaystyle \mu \sigma \tau \mu^{-1} = \mu \sigma \mu^{-1} \mu \tau \mu^{-1} \) .
Quindi data una permutazione qualsiasi, è molto facile calcolare l'immagine tramite l'operazione di coniugio.