[RISOLTO] Esercizio gruppo-sottogruppo, ordini gruppo G/H

[beck_s]

Spero che questa sia l'ultima volta che debba chiedere il vostro aiuto. Ma sono sbattuto su un'altro muro! Vi pongo l'esercizio:

Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo abeliano \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{{g}}^{{4}}{\mid}{g{\in}}{G}\right\rbrace}{\left(={\left\lbrace{x}\in{G}{\mid}{e}{s}{i}{s}{t}{e}{g{\in}}{G}{c}{o}{n}{x}={{g}}^{{4}}\right\rbrace}\right)} \) si dimostri che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo di \( \displaystyle {G} \).
Calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente \( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle / \)\( \displaystyle {H} \).
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale l'insieme degli elementi definito sopra non è un sottogruppo.

Soluzione
Inizio col dimostrare che \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo
\( \displaystyle {1}\in{G} \) \( \displaystyle {{1}}^{{4}}={1}\in{H} \) (ammette elemento neutro)
se \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) anche \( \displaystyle {{g}}^{{-{{1}}}}\in{G} \) quindi \( \displaystyle {{g}}^{{4}}\in{H} \) e \( \displaystyle {{\left({{g}}^{{-{{1}}}}\right)}}^{{4}}\in{H} \) \( \displaystyle {{g}}^{{4}}\cdot{{g}}^{{-{{4}}}}={1} \) (ammette inverso)
Qua ho già dei problemi se \( \displaystyle {h},{h}_{{1}}\in{H} \) devo dimostrare che anche \( \displaystyle {h}\cdot{h}_{{1}}\in{H} \) cioè \( \displaystyle {{g}}^{{4}}\cdot{{g}_{{1}}^{{4}}}={{\left({g{\cdot}}{g}_{{1}}\right)}}^{{4}}\in{H} \) ma come posso dimostrare che \( \displaystyle {g{\cdot}}{g}_{{1}}\in{G} \)??

Se \( \displaystyle {G} \) è abeliano allora \( \displaystyle {H} \) è normale e quindi \( \displaystyle \sim{H}={H}\sim={g{\cdot}}{{g}_{{1}}^{{-{{1}}}}}\in{H}={{g}_{{1}}^{{-{{1}}}}}\cdot{g{\in}}{H} \) ma non saprei calcolare gli ordini, proprio non saprei da dove partire,

Anche nell'ultimo punto non saprei da dove iniziare:(

come al solito grazie in anticipo

[j18eos]

Correggo il procedimento per il calcolo dell'inverso, è: \( \displaystyle \forall g\in G;\,n\in\matbb{N},\,(g^{-1})^n=g^{-n} \) con \( \displaystyle G \) gruppo generico!
Sulla chiusura di \( \displaystyle H \) rispetto all'operazione interna: \( \displaystyle \forall h;\eta\in H,\,\exists g;\gamma\in G\mid g^4=h;\,\gamma^4=\eta \) per definizione di gruppo \( \displaystyle g\gamma\in G \) ed essendo \( \displaystyle G \) un gruppo abeliano: \( \displaystyle h\eta=g^4\gamma^4=(g\gamma)^4\in H \) !

Hai così il primo asserto!

[beck_s]

per definizione di gruppo \( \displaystyle g\gamma\in G \) ed essendo \( \displaystyle G \) un gruppo abeliano: \( \displaystyle h\eta=g^4\gamma^4=(g\gamma)^4\in H \) !
Hai così il primo asserto!

La definizione di gruppo dice che in \( \displaystyle {G} \) vale la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro, e che per ogni \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) segue \( \displaystyle {{g}}^{{-{{1}}}}\in{G} \) ma NON dice che \( \displaystyle {g{\cdot}}{g}_{{1}}\in{G} \)

[Martino]

La definizione di gruppo dice che in \( \displaystyle {G} \) vale la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro, e che per ogni \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) segue \( \displaystyle {{g}}^{{-{{1}}}}\in{G} \) ma NON dice che \( \displaystyle {g{\cdot}}{g}_{{1}}\in{G} \)

Si' che lo dice.

Un gruppo e' un insieme G con un'operazione binaria interna, cioe' una funzione \( \displaystyle G \times G \to G \) che manda una coppia \( \displaystyle (a,b) \) in un elemento di G che chiamiamo \( \displaystyle a \cdot b \) , tale che (ecc.).

[beck_s]

La definizione di gruppo dice che in \( \displaystyle {G} \) vale la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro, e che per ogni \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) segue \( \displaystyle {{g}}^{{-{{1}}}}\in{G} \) ma NON dice che \( \displaystyle {g{\cdot}}{g}_{{1}}\in{G} \)

Si' che lo dice.

Un gruppo e' un insieme G con un'operazione binaria interna, cioe' una funzione \( \displaystyle G \times G \to G \) che manda una coppia \( \displaystyle (a,b) \) in un elemento di G che chiamiamo \( \displaystyle a \cdot b \) , tale che (ecc.).

Questo fa luce su molti esercizi!!
grazie ad entrambi


Per gli altri punti del problema avete qualche idea?

[j18eos]

Non avevo letto la richiesta dell'esempio! Se non avessi sbagliato i conti andrebbe bene \( \displaystyle Sym4 \) .

Sul resto buio totale!

[Martino]

Ogni elemento di \( \displaystyle G/H \) elevato alla quarta fa 1, quindi ha ordine 1, 2 oppure 4.

Se non avessi sbagliato i conti andrebbe bene \( \displaystyle Sym4 \) .

\( \displaystyle S_4 \) e' un buon controesempio. Infatti in questo caso l'insieme delle quarte potenze e' uguale all'insieme dei 3-cicli piu' l'identita', e non si tratta di un sottogruppo.

[j18eos]

Ripensandoci andrebbe bene anche \( \displaystyle Alt4 \) !

[beck_s]

Ogni elemento di \( \displaystyle G/H \) elevato alla quarta fa 1, quindi ha ordine 1, 2 oppure 4.

Vediamo se ho capito un elemento di \( \displaystyle G/H \) è un elemento tale che da \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) \( \displaystyle {g{\cdot}}{{x}}^{{-{{1}}}}\in{H} \) giusto? ma perché \( \displaystyle {{g}}^{{4}} \) fa \( \displaystyle {1} \)?
Ho all'incirca capito gli ordini degli elementi con i gruppi quoziente di \( \displaystyle {Z} \) ma qui proprio non riesco a capire il ragionamento, perdonate la mia ignoranza.
Ciao e intanto grazie, adesso provo a ristudiarlo meglio vediamo se qualcosa prima o poi mi entra nella zucca!

[Martino]

Vediamo se ho capito un elemento di \( \displaystyle G/H \) è un elemento tale che da \( \displaystyle {g{\in}}{G} \) \( \displaystyle {g{\cdot}}{{x}}^{{-{{1}}}}\in{H} \) giusto? ma perché \( \displaystyle {{g}}^{{4}} \) fa \( \displaystyle {1} \)?

L'elemento neutro di \( \displaystyle G/H \) e' \( \displaystyle H \) . L'operazione in \( \displaystyle G/H \) e' definita cosi': \( \displaystyle (Hx)(Hy) := H xy \) . Ovviamente se \( \displaystyle x \in H \) allora \( \displaystyle Hx=H \) .

Nel tuo caso \( \displaystyle (Hg)^4 = HgHgHgHg = Hg^4 = H \) , dato che per costruzione \( \displaystyle g^4 \in H \) .