Esercizio meccanica razionale(aiuto x favore)

[globo12]

Un sistema materiale, formato da una lamina rettangolare omogenea di massa M e lati L e
2L, si trova su di un piano verticale. La lamina è vincolata ad un guida orizzontale r nel punto
medio H del lato AB tramite una cerniera mobile come da figura.
Si determini per l'intero sistema, in funzione dei parametri lagrangiani, l'ubicazione del
baricentro e si scriva poi la matrice principale della lamina rispetto al polo O

(P:S: nn riuscendo a inserire la figura la lamina è distanziata da 0 al punto H che non è altro che lo spostamento S ovvero il parametro lagrangiano ed è inclinata rispetto al riferimento ovvero L'angolo che forma con il sistema assoluto nel punto medio H ovvero il secondo parametro lagrangiano)
Aiutatemi per favoreeee.

[ELWOOD]

ciao e benvenuto,
per inserire le immagini non devi far altro che accedere al riquadro sotto "carica immagine con TinyPic"

per il resto sarebbe auspicabile che provassi a farci capire dove hai difficoltà nella risoluzione dell'esercizio.

ciao

[globo12]

Per prima cosa grazie della risposta, Non avevo notato che c'era l'opzione per inserire l'immagine



Ecco cosi mi potrò spiegare meglio. In pratica riesco a calcolarimi il momento d'inerzia di un rettangolo. In questo caso è inclinato. Ho preso come sistema solidale al corpo gli assi che chiamo x ed y con punto di intersezione H, dove x è parallelo ad r ed y parallelo ad s e quindi mi trovo il baricentro rispetto al sistema assoluto O(s,r) attraverso i due parametri lagrangiani

[ELWOOD]

Non riesco a capire quali siano i parametri lagrangiani.
Una volta trovato il baricentro quali sono le tue difficoltà?

[globo12]

Ho modificato l'immagine cosi penso che capirai cosa voglio dirti.




Mi devo trovare per prima cosa il baricentro in funzione dei parametri lagrangiani rispetto al sistema assoluto ovvero quello con assi (s,r). Penso che sia: G=(s-Lcos\theta ; (Lsen\theta)\2 )

[ELWOOD]

quello che trovi te è il vettore \( \displaystyle {G}-{O} \) riferito al sistema \( \displaystyle {O}{x}{y} \) e non riferito a \( \displaystyle {O}{s}{r} \)

è corretto

[globo12]

fin qua l'ho capito, ovvero mi son trovato il baricentro in funzione dei parametri lagrangiani..Ora nn so come trovare la matrice d'inerzia principale rispetto al polo O. La matrice principale deve essere quella in cui i momenti deviatori sono nulli ovvero

I(xy)=0

Io penso ke essendo nullo il momento I(xy) rispetto ad H sarà nullo per la formula di stainer anche quello in O in quando
I(rs)=I(xy)+mxy rispetto ad H. Ma siccome I(xy)=0 e mxy=0 perche la distanza y=OH=0 sarò in definitiva anche I(rs)=0

Il mio problema consiste nel trovare I(xx) e I(yy) rispetto al polo O

[ELWOOD]

Io non credo sia nullo \( \displaystyle {I}_{{{x}{y}}} \) rispetto ad H perchè la piastra è inclinata.
Come hai detto te io mi troverei i momenti rispetto ad H e con Steiner li trasporto in O.
Una volta trovata la matrice d'inerzia la diagonalizzi e trovi la terna principale

[globo12]

Ecco non riesco a trovarli proprio perchè la piastra è inclinata..Se nn sarebbe inclinata i momenti rispetto ad H sarebbero:

I(xx)=(1/3)m(l^2)
I(yy)=(1/3)m(2l^2)
I(xy)=0

Devo cambiare i domini di integrazione oppure sono semplicemente:

I(xx)=(1/3)m(l^2)sin^2(theta)
I(yy)=(1/3)m(2l^2)cos^2(theta)
I(xy)=?

Ecco mi blocco qua, ma poi per il ragionamento successivo, ovvero applicare steiner e diagonalizzare la matrice ci sono.

[ELWOOD]

a rigore potresti scegliere la strada della parametrizzazione della lamina, ma credo che diventi un pò troppo laborioso.
Altra strada (visto che si tratta di una lamina piana) è quella di utilizzare le leggi di variazione dei momenti al variare del s.di riferimento.

Nel tuo caso, se poni un s. di riferimento di origine in H con assi parallelo alla base della lamina (chiamo \( \displaystyle {u} \)) e perpendicolare alla lamina (chiamo \( \displaystyle {v} \)) allora i momenti \( \displaystyle {I}_{{{s}{s}}} \) e \( \displaystyle {I}_{{{r}{r}}} \) rispetto a \( \displaystyle {H}{s}{r} \) si esprimono come:

\( \displaystyle {I}_{{{s}{s}}}={\frac{{{I}_{{\cup}}+{I}_{{\vee}}}}{{{2}}}}+{\frac{{{I}_{{\cup}}-{I}_{{\vee}}}}{{{2}}}}{\cos{{\left({2}\alpha\right)}}}-{I}_{{{u}{v}}}{\sin{{\left({2}\alpha\right)}}} \)

\( \displaystyle {I}_{{{r}{r}}}={\frac{{{I}_{{\cup}}+{I}_{{\vee}}}}{{{2}}}}-{\frac{{{I}_{{\cup}}-{I}_{{\vee}}}}{{{2}}}}{\cos{{\left({2}\alpha\right)}}}+{I}_{{{u}{v}}}{\sin{{\left({2}\alpha\right)}}} \)

\( \displaystyle {I}_{{{s}{r}}}={\frac{{{I}_{{\cup}}-{I}_{{\vee}}}}{{{2}}}}{\sin{{\left({2}\alpha\right)}}}+{I}_{{{u}{v}}}{\cos{{\left({2}\alpha\right)}}} \)