Esercizio prodotto scalare canonico

[Andrea990]

Salve,
Avrei da proporre un esercizio... Di questo non riesco a risolvere l'ultimo punto...
O almeno... l'ho risolto ma non so se torna il ragionamento...

Si consideri \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) con prodotto scalare canonico. Sia:

\( \displaystyle {W}={\left\lbrace{x}\in{\mathbb{R}}^{{3}}:{3}{x}_{{1}}-{5}{x}_{{2}}+{x}_{{3}}={0}\right\rbrace} \)

1.Si determini una base ortonormale di \( \displaystyle {W} \).

Soluzione.
Ad esempio:
\( \displaystyle {W}=\lt{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{{10}}}}\right)}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}\gt+\lt{\left(\frac{{1}}{\sqrt{{{14}}}}\right)}\cdot{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}\gt \)

2.Per \( \displaystyle \forall{y}\in{\mathbb{R}}^{{3}} \) si determini la proiezione ortogonale di \( \displaystyle {y} \) su \( \displaystyle {W} \).

Soluzione.
\( \displaystyle {y}'={\left(\matrix{\frac{{{26}{y}_{{1}}+{15}{y}{2}-{3}{y}_{{3}}}}{{35}}\\\frac{{{3}{y}_{{1}}+{2}{y}_{{2}}+{y}_{{3}}}}{{7}}\\\frac{{-{3}{y}_{{1}}+{5}{y}_{{2}}-{34}{y}_{{3}}}}{{35}}}\right)} \)

3.(Qui non so se sia giusto) Si determini \( \displaystyle {W}\bot \).

Soluzione.
Per prima cosa io posso scrivere \( \displaystyle {W}\bot=\lt{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)},{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}\gt\bot= \)
\( \displaystyle ={\left\lbrace{x}\in{\mathbb{R}}^{{3}}:{x}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}={0},{x}\cdot{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}={0}\right\rbrace} \)
Dunque:
\( \displaystyle {x}=\lambda{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}+\mu{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)} \)

\( \displaystyle {x}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}={0}\rightarrow{\left[\lambda{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}+\mu{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}\right]}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}={0} \)

\( \displaystyle \lambda{\left({1}+{9}\right)}+\mu{\left({3}-{3}\right)}={0} \)

\( \displaystyle {x}\cdot{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}={0}\rightarrow{\left[\lambda{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}+\mu{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}\right]}\cdot{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}={0} \)

\( \displaystyle \lambda{\left({3}-{3}\right)}+\mu{\left({9}+{4}+{1}\right)}={0} \)

Quindi \( \displaystyle {W}\bot={0} \)


Secondo me è sbagliata... troppo strana come risoluzione...
Però tanto vale provare a farvi vedere come ragiono...
Così potete risolvere meglio le mie lacune/distrazioni...

Grazie,
Andrea

[Gaal Dornick]

Beh, vale il risultato generale (si può anche provare.. per esercizio: prendi una base ortonormale (puoi sempre prenderla?) di \( \displaystyle {W} \)..) \( \displaystyle {V} \) è somma diretta di \( \displaystyle {W} \) e \( \displaystyle {{W}}^{\bot} \). Quindi la dimensione di \( \displaystyle {V} \) è la somam delle dimensioni dei due sottospazi. E quello che hai determinato tu contravviene a questo teorema. Ergo è sbagliata la risoluzione.

L'errore viene dall'aver supposto l'\( \displaystyle {x} \) che usi nei conti una combinazione lineare dei generatori di \( \displaystyle {W} \), e quindi un elemento di \( \displaystyle {W} \). Deve essere invece in generale un elemento di tutto lo spazio vettoriale (\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) nel tuo caso). Con i tuoi conti hai verificato che tra tutti gli elementi di \( \displaystyle {W} \), l'unico che è ortogonale ai generatori è il vettore nullo. Cioè che \( \displaystyle {W}\cap{{W}}^{\bot}={\left\lbrace{0}\right\rbrace} \), come del resto si ha dal teorema che citavo prima.

[Andrea990]

Giusto... che stupido...Grazie...

Quindi mi trovo i prodotti scalari di

\( \displaystyle {x}\cdot{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{3}}\right)}={0} \) e \( \displaystyle {x}\cdot{\left(\matrix{{3}\\{2}\\{1}}\right)}={0} \)

Dunque svolgo il sistema e ottengo 1 vettore (rank\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&-{3}\\{3}&{2}&{1}}\right)}={2} \)) della base ortogonale di W...

Meglio?^^

Grazie

[Gaal Dornick]

Meglio!