Esercizio programmazione lineare

[aleio1]

Ho il seguente esercizio da risolvere ed ho incontrato alcune difficoltà in alcuni punti.

\( \displaystyle min(x_1+kx_4-x_5) \)
\( \displaystyle \begin{cases} x_1-x_2+3x_4 =a \\
2x_1-x_2 +x_5=2 \\
x_2+x_3-x_4 =4 \\
x_i\ge0\ \ i=1,\dots,5 \end{cases} \)

Dire per quali valori di \( \displaystyle a, \ k \) il problema ammette una soluzione ottima \( \displaystyle x \) tale che \( \displaystyle x_1=x_2 \)

Ho provato a creare un nuovo problema con il vincolo aggiuntivo.
Dalla prima equazione ricavo \( \displaystyle a\ge0 \) .
Una soluzione di base ammissibile è \( \displaystyle (0,0,4+\frac{a}{3},\frac{a}{3},2) \) associata alla base

\( \displaystyle B=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 0 \\
-1& 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \) e inversa \( \displaystyle B^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -3 \\
1 & 0 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 3 & 0 & 3\end{bmatrix} \)

e se non ho sbagliato i conti la condizione di ottimalità è verificata per ogni valore di k. Ma non ne sarei così sicuro..potreste aiutarmi?
grazie