Esercizio retta ortogonale ad un vettore

[MasaOverflow]

Sto provando a fare qualche esercizio di geometria analitica per il futuro esame di matematica che dovrò affrontare, volevo chiedervi se il seguente esercizio è stato svolto correttamente:

Dato un vettore \( \displaystyle {\vec{{v}}}={\left(\matrix{\frac{{9}}{{2}}\\{0}}\right)} \) ed un punto \( \displaystyle {P}={\left(-{4},{7}\right)} \)

1) Scrivere le equazioni cartesiane e parametriche della retta ortogonale a \( \displaystyle {\vec{{w}}} \) e passante per il punto \( \displaystyle {P} \);
2) Stabilire se tale retta passa per l'origine;

Allora ecco il mio procedimento:

1) Per trovare l'equazione della retta ho bisogno di conoscere un vettore ad essa parallela, avendo \( \displaystyle {\vec{{w}}} \) ortogonale a tale retta ottengo semplicemente un vettore \( \displaystyle {\vec{{v}}} \) invertendo le componenti di \( \displaystyle {\vec{{w}}} \) cambiandone la prima di segno dunque: \( \displaystyle {\vec{{v}}}={\left(\matrix{{0}\\\frac{{9}}{{2}}}\right)} \) ed effettuando il prodotto scalare verifico che il risultato è 0 dunque sono ortogonali. L'equazione parametrica della retta sarà dunque:

\( \displaystyle {r}={\left\lbrace\matrix{{x}=-{4}\\{y}={7}+\frac{{9}}{{2}}{t}}\right.} \) Ora ho esplicitato il parametro t nella y, ma non essendo presente nella x non so se questa operazione sia necessaria;

Per avere l'equazione cartesiana, in altri esercizi sono partito dall'equazione parametrica e tramite il valore t sono potuto risalire direttamente all'equazione desiderata, ora invece ho utilizzato la formula: \( \displaystyle {m}{\left({x}-{x}_{{0}}\right)}={l}{\left({y}-{y}_{{0}}\right)} \) che sostituiti con i miei valori diventa: \( \displaystyle \frac{{9}}{{2}}{\left({x}+{4}\right)}={0}{\left({y}-{7}\right)} \) dunque ho: \( \displaystyle \frac{{9}}{{2}}{x}+{18}={0} \) -> \( \displaystyle {x}=-{4} \) ed in questo modo in teoria dovrei aver risolto il punto 1;

2) Per stabilire se una retta passa per un punto basta sostituire i valori di tale punto nell'equazione ottenuta dunque l'origine degli assi ha: \( \displaystyle {P}={\left({0},{0}\right)} \) che sostituiti alla mia equazione da \( \displaystyle {0}=-{4} \) oppure \( \displaystyle \frac{{9}}{{2}}{\left({0}\right)}+{18}={0} \) l'equazione non è verificata quindi tale retta non passa per l'origine (cosa ovvia avendo il valore \( \displaystyle {c}\gt{0} \))

è corretto così oppure mi sono lasciato sfuggire qualcosa??? Non ho un testo a cui fare riferimento dato che il mio riporta solo quale sia l'equazione della retta nelle due forme (senza nozioni teoriche e/o pratiche su come effettuare il passaggio da una forma all'altra o altre possibili operazioni con le rette, come per tutti gli altri elementi di geometria analitica) e niente più. Quello che ho scritto sono tutte nozioni che mi sono ricavato dalla rete spiegazioni.

Grazie in anticipo per l'attenzione.

[apatriarca]

A mio parere ti sei complicato inutilmente la vita. Il vettore dato è infatti parallelo all'asse delle ascisse, per cui una retta ad esso perpendicolare sarà parallela all'asse delle ordinate e quindi nella forma \( x = k \) per una qualche costante \(k\). Siccome deve passare per il punto \( P = (-4, 7) \), dovrà essere \( k = -4 \) e l'equazione della retta sarà quindi \( x = -4 \). E' abbastanza evidente che questa retta non passa per l'origine, l'origine non ha infatti ascissa uguale a \(-4\). Nel caso generale la risoluzione dell'esercizio andava abbastanza bene, ma credo che ci siano molte verifiche superflue: servono più che altro a te per verificare se l'equazione trovata è corretta, ma ai fini dell'esercizio, se il procedimento è corretto, è corretto anche il risultato senza avere bisogno di verificarlo tutte le volte.

[MasaOverflow]

Grazie mille per il chiarimento, in casi come questo allora basta tener presente gli assi e diventa tutto più semplice quindi il metodo che ho utilizzato mi porta comunque al risultato finale, dunque penso di poterlo utilizzare in un caso più generale. Giusto? Correggimi se sbaglio

[apatriarca]

La prima parte fino alle equazioni parametriche è corretto nel caso generale. Il passaggio dall'equazione parametrica a quella cartesiana sembra corretto, ma sarei restio a usare direttamente la formula da te scritta senza fare i passaggi intermedi nel caso generale. Il punto due è invece inutile in quanto la retta contiene quel punto per costruzione.

[MasaOverflow]

Bene. Grazie mille per i chiarimenti