Esercizio su Anelli

[blackbishop13]

un esercizio che non riesco a risolvere:

\( \displaystyle A \) anello in cui ogni ideale \( \displaystyle I \neq A \) è primo,
allora \( \displaystyle A \) è un campo.

iniziamo con il considerare l'ideale \( \displaystyle \left( 0 \right) \) : siccome questo è primo, possiamo concludere che \( \displaystyle A \) è un dominio.

ora osserviamo che \( \displaystyle R \) è un campo \( \displaystyle \Leftrightarrow \) gli unici ideali di \( \displaystyle R \) sono banali, ovvero \( \displaystyle R,\left( 0 \right) \)

adesso potrei mostrare che per ogni \( \displaystyle a \in A \setminus \left\{ 0 \right\} \) si ha \( \displaystyle \left( a \right) = A \) ma non riesco.

Idee?

[Lorin]

Non ho capito perchè vuoi mostrare che se indico con $(a)=I => I=A$

[Pappappero]

In questo modo si dimostrerebbe che tutti gli ideali principali generati da un elemento $a \ne 0$ fanno tutto l'anello, e quindi in particolare ogni ideale $I \ne 0$ è t.c. $I=A$ (dal momento che contiene gli ideali principali dei suoi elementi non nulli).

Al momento non mi viene in mente una soluzione che possa prendere questa strada.

Prova però a considerare (dopo aver giustamente osservato che in questo caso il tuo anello è un dominio) che per ipotesi sono primi tutti gli ideali della forma $(a^2)$ con $a$ non nullo. Direttamente dalla definizione si arriva a dire che $a$ è invertibile.

[blackbishop13]

grazie mille Pappappero, e benvenuto nel forum.
In effetti è probabile che mi fossi infognato in una strada difficile e tortuosa, mentre con la tua idea si arriva alla conclusione in fretta.
completo l'esercizio per chiarezza:

Osservato che \( \displaystyle \left( 0 \right) \) è un ideale primo, e quindi che \( \displaystyle A \) è un dominio, adesso consideriamo
\( \displaystyle a \neq 0 \) , e studiamo l'ideale \( \displaystyle I= \left( a^2 \right) \) .

ora supponiamo \( \displaystyle a \notin I \) ma allora \( \displaystyle I \neq A \) e quindi per ipotesi sappiamo che \( \displaystyle I \) è primo e quindi siccome \( \displaystyle a^2=a \cdot a \in I \) abbiamo che \( \displaystyle a \in I \lor a \in I \) ovvero \( \displaystyle a \in I \) assurdo.

perciò \( \displaystyle a \in I \) da cui segue \( \displaystyle a=a^2 \cdot b \) , quindi \( \displaystyle a \left( 1-ab \right) =0 \) e siccome \( \displaystyle a \neq 0 \) e \( \displaystyle A \) dominio, ricaviamo \( \displaystyle ab=1 \) ovvero \( \displaystyle a \) invertibile.

et voilà.

@Lorin penso ti abbia risposto bene Pappappero, la mia idea era quella.

[Lorin]

Capito...non avevo afferrato bene il senso. ^^