esercizio su applicazioni lineare

[tori90]

siano V uno spazio vettoriale, e \( \displaystyle {B}={\left({v}{1},{v}{2},{v}{3}\right)} \) una sua base e \( \displaystyle {w}={v}{1}+{v}{2}+{v}{3} \) un elemente di v. Si consideri l'endomorfismo di V la cui matrice relativa a B è la seguente:

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{1}}\right)} \)

-trovare kerF
.stabilire se il sottospazio L(w) generato da w è un autospazio di f


allora il primo esercizio credo di averlo risolto, spero bene. Infatti ho costruito il sistema associato alla matrice e lo ho egualiato a 0 in questo modo \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}+{z}={0}\\{y}={0}\\{x}+{z}={0}}\right.} \) ed ho scoperto che il kerf ha dimensione uno, e una sua base è per esempio (x,0,-x)

ora come faccio a risolvere il secondo? confrontandomi con alcuni compagni mi hanno detto che non è un autospazio perchè w non è un autovettore. Come lo dimostro?

[cirasa]

allora il primo esercizio credo di averlo risolto, spero bene. Infatti ho costruito il sistema associato alla matrice e lo ho egualiato a 0 in questo modo \( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}+{z}={0}\\{y}={0}\\{x}+{z}={0}}\right.} \) ed ho scoperto che il kerf ha dimensione uno, e una sua base è per esempio (x,0,-x)

In rosso l'errore. Ti sei espresso male. \( \displaystyle {\left({x},{0},-{x}\right)} \) è la terna delle componenti di un generico vettore di \( \displaystyle \text{ker}{F} \). Quindi il generico vettore di \( \displaystyle \text{ker}{F} \) è nella forma \( \displaystyle {x}{v}_{{1}}-{x}{v}_{{3}} \). Quindi una base di \( \displaystyle \text{ker}{F} \) è formata dal solo vettore \( \displaystyle {v}_{{1}}-{v}_{{3}} \).
Attenzione a non confondere un vettore con la terna delle sue componenti!

Per il secondo esercizio, per provare che \( \displaystyle {w} \) non è autovettore applica la definizione. Calcola \( \displaystyle {F}{\left({w}\right)} \) e verifica che \( \displaystyle {F}{\left({w}\right)} \) non è proporzionale a \( \displaystyle {w} \).

[tori90]

grazie per avermi chiarito l'errore nel primo esercizio^^

il problema di fondo è...come faccio a trovare F(w)? Al momento non riesco a trovare una soluzione. In genere quandosi tratta di calcolare gli autovettori, trovo prima gli autovalori e gli auto spazi. Si può fare anche in questo caso?

[mistake89]

ricorda la definizione di applicazione lineare, e vedi com'è definito \( \displaystyle {w} \). Inoltre qual è la base e quali sono le componenti rispetto ad essa... devi solo mettere insieme questi elementi.

[cirasa]

Sai qual è la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base \( \displaystyle {B} \).
Quindi puoi sapere quanto valgono \( \displaystyle {F}{\left({v}_{{1}}\right)} \), \( \displaystyle {F}{\left({v}_{{2}}\right)} \) e \( \displaystyle {F}{\left({v}_{{3}}\right)} \) (basta usare la definizione di matrice associata)
Da cui puoi calcolare \( \displaystyle {F}{\left({w}\right)}={F}{\left({v}_{{1}}\right)}+{F}{\left({v}_{{2}}\right)}+{F}{\left({v}_{{3}}\right)} \) e verificare se è proporzionale a \( \displaystyle {w}={v}_{{1}}+{v}_{{2}}+{v}_{{3}} \) oppure no.

[tori90]

svolgendo i calcoli, se non ho sbagliato, mi viene che F(w)= 2v1+v2+2v3 che non è proporzionale a w. E' giusto ciò che ho fatto? (ho ricavato le immagini dei vettori dalle colonne della matrice)

[cirasa]

Giusto

[tori90]

ok grazie mille per le risposte, mi sei stato di grande aiuto