Esercizio su estensioni di campi

[kekko89]

si in effetti quello non è un polinomio,ho qualche amnesia pre-esame scusami!! Ma quindi quale sarebbe la mia g(x)? non riesco a seguire un ragionamento.

[Martino]

Lo scrivo meglio.

Chiamo \( \displaystyle f(x) \) il polinomio minimo di \( \displaystyle u \) , e chiamo \( \displaystyle g(x) \) il polinomio \( \displaystyle x^3-x \) .

Passo uno: usando l'algoritmo di Euclide trovi due polinomi \( \displaystyle a(x) \) e \( \displaystyle b(x) \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) tali che \( \displaystyle a(x)g(x)+b(x)f(x)=1 \) .

Passo due: sostituisci \( \displaystyle x=u \) alla relazione ottenuta. Siccome \( \displaystyle f(u)=0 \) il secondo addendo a sinistra si annulla e ottieni \( \displaystyle a(u)g(u)=1 \) , da cui ricavi che \( \displaystyle a(u)=1/g(u)=1/(u^3-u) \) .

Ne segue che \( \displaystyle 2u/(u^3-u) = 2u \cdot a(u) \) , e questo è un polinomio in \( \displaystyle u \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) .

[kekko89]

ok,il procedimento l'ho capito..i calcoli li rimando a domani mattina,visto che ormai non mi viene più niente.. quindi per esempio si se mi dovessero chiedere in un altro esercizio di scrivere \( \displaystyle \frac{{{2}{u}}}{{{u}+{1}}} \) come polinomio in u,trovo l'inverso del polinomio \( \displaystyle {x}+{1} \) e poi,dopo la sostituzione \( \displaystyle {x}={u} \) moltiplico per 2u ? Grazie mille!!!

[Martino]

per esempio si se mi dovessero chiedere in un altro esercizio di scrivere \( \displaystyle \frac{{{2}{u}}}{{{u}+{1}}} \) come polinomio in u,trovo l'inverso del polinomio \( \displaystyle {x}+{1} \) e poi,dopo la sostituzione \( \displaystyle {x}={u} \) moltiplico per 2u ? Grazie mille!!!

Esatto, l'inverso modulo il polinomio minimo di \( \displaystyle {u} \). Prego, ciao.