Esercizio su estensioni di campi

[kekko89]

Dimostrare che \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{7}}+{i}\right)}={Q}{\left(\sqrt{{7}},{i}\right)} \).
Allora,io ho pensato che \( \displaystyle \sqrt{{7}}+{i} \) si può scrivere come combinazione lineare di \( \displaystyle \sqrt{{7}} \) e \( \displaystyle {i} \),dunque \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{7}}+{i}\right)} \) è contenuto in \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{7}},{i}\right)} \).
Inoltre hanno lo stesso grado di estensione (quattro) poichè ho trovato i loro polinomi minimi. Questo basta a dimostrare l'uguaglianza? O devo dimostrare che \( \displaystyle \sqrt{{7}} \) e \( \displaystyle {i} \) si scrivono separatamente come combinazione lineare di elementi a coefficienti in \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{7}}+{i}\right)} \)? Perchè a quel punto mi blocco. Grazie!!

[Martino]

\( \displaystyle \sqrt{{7}}+{i} \) si può scrivere come combinazione lineare di \( \displaystyle \sqrt{{7}} \) e \( \displaystyle {i} \),dunque \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{7}}+{i}\right)} \) è contenuto in \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{7}},{i}\right)} \).
Inoltre hanno lo stesso grado di estensione (quattro) [...] Questo basta a dimostrare l'uguaglianza?

Sì.

[kekko89]

Grazie! ne approfitto per chiederti un altro paio di cose! sia \( \displaystyle {u}=\sqrt{{{3}+\sqrt{{11}}}}\) \). Scrivere \( \displaystyle {2}\frac{{u}}{{{{u}}^{{3}}-{u}}}\) \) come polinomio in Q(u). Non saprei neanche cme partire sinceramente..magari basta solo l'imput..grazie!

[Martino]

Parti osservando che \( \displaystyle u^2=3+\sqrt{11} \) , quindi \( \displaystyle (u^2-3)^2=11 \) . Da qui ricavi il polinomio minimo di \( \displaystyle u \) ...

[kekko89]

Si,il polinomio minimo lo avevo trovato..è lo scrivere \( \displaystyle \frac{{{2}{u}}}{{{{u}}^{{3}}-{u}}} \) come polinomio che proprio non capisco cosa mi chieda e come operare..

[Martino]

Si,il polinomio minimo lo avevo trovato..è lo scrivere \( \displaystyle \frac{{{2}{u}}}{{{{u}}^{{3}}-{u}}} \) come polinomio che proprio non capisco cosa mi chieda e come operare..

Quando esponi un tuo dubbio ti consiglio di scrivere tutto ciò che hai pensato, tutte le idee che hai avuto in proposito.

Quello che devi fare è scrivere \( \displaystyle \frac{{1}}{{{{u}}^{{3}}-{u}}} \) come polinomio in \( \displaystyle {u} \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (poi lo moltiplicherai per \( \displaystyle {2}{u} \) per trovare il polinomio richiesto).

Chiama \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) il polinomio minimo di \( \displaystyle {u} \). Sei d'accordo che \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left({u}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Q}{\left[{X}\right]}\//{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) ?
Sai come si fa ad invertire la classe di un polinomio modulo \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \)?

[kekko89]

si,all'isomorfismo ci sono.. per invertire la classe di un polinomio suppongo che si debba trovare un altro polinomio che moltiplicato a quello di partenza mi dia f(x) o comunque un suo multiplo..

[Martino]

si,all'isomorfismo ci sono.. per invertire la classe di un polinomio suppongo che si debba trovare un altro polinomio che moltiplicato a quello di partenza mi dia f(x) o comunque un suo multiplo..

No: invertire il polinomio \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) modulo \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) significa trovare un polinomio \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)} \) tale che \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}\equiv{1} \) modulo \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \), ovvero tale che \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) divida \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}-{1} \). In altre parole devi trovare due polinomi \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)} \) e \( \displaystyle {b}{\left({x}\right)} \) tali che \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)}{g{{\left({x}\right)}}}+{b}{\left({x}\right)}{f{{\left({x}\right)}}}={1} \).

Per questo ricorri all'algoritmo di Euclide.

Una volta fatto ciò fai la sostituzione \( \displaystyle {x}={u} \) e trovi qualcosa di interessante.

[kekko89]

ok,quindi la mia g(x) è il polinomio 1/x^3-x? poi sostituendo x=u trovo che \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)} \) è proprio l'inversa. Ma quindi quando mi fanno una richiesta del genere,voglio che scrivo il polinomio dato nella forma: \( \displaystyle {a}_{{0}}{u}+{a}_{{1}}{{u}}^{{2}}+{a}_{{2}}{{u}}^{{3}} \) ecc con opportuni coefficienti razionali?

[Martino]

ok,quindi la mia g(x) è il polinomio 1/x^3-x? poi sostituendo x=u trovo che \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)} \) è proprio l'inversa. Ma quindi quando mi fanno una richiesta del genere,voglio che scrivo il polinomio dato nella forma: \( \displaystyle {a}_{{0}}{u}+{a}_{{1}}{{u}}^{{2}}+{a}_{{2}}{{u}}^{{3}} \) ecc con opportuni coefficienti razionali?

(edit)Sì vogliono quello. Hai trovato i polinomi \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)} \) e \( \displaystyle {b}{\left({x}\right)} \) come ho scritto sopra?

ok,quindi la mia g(x) è il polinomio 1/x^3-x?

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{{x}}^{{3}}-{x}}} \) non è un polinomio.