Esercizio su permutazioni e gruppi ciclici

[sara91]

Ciao a tutti! Sono nuova, quindi perdonatemi eventuali errori nelle formule
Allora, il mio problema è questo: partendo da due gruppi ciclici generati da due permutazioni, non riesco a trovare un modo "sintetico" per determinarne l'intersezione. Mi spiego con un esempio. In un esercizio mi vengono date due permutazioni
s = (1,14,8,7,10)(2,9,11,12,5,3)(4,6,13) e
t= (17,14,10,8)(2,9,11,12,4,6,13)(3,5)
mi chiede di trovare l'intersezione dei gruppi ciclici generati da queste. Ora svolgendo l'esercizio mi ritrovo con 30 elementi nel primo gruppo e 70 nel secondo... Come faccio a determinarne l'intersezione, che dovrebbe avere 10 elementi (10=MCD(30,70))? L'unica cosa che mi viene in mente è mettermi a calcolare tutte le potenze, ma fare 100 calcoli non mi sembra molto logico Ho notato però che le due permutazioni mandano l'insieme {1,7,8,10,14 } in se stesso e le terze potenze di s fanno lo stesso, quindi ho pensato che la soluzione del problema potesse essere questa... Che dite? Grazie per l-aiuto

[perplesso]

Ciao, scusa nella seconda permutazione il primo numero è 17 oppure 1,7 ?

che dovrebbe avere 10 elementi (10=MCD(30,70))?

Non necessariamente, potrebbe averne anche 5 o 2 basta che è un divisore comune dei due periodi.

[sara91]

Ciao, scusa nella seconda permutazione il primo numero è 17 oppure 1,7 ?
è 1,7, ho sbagliato a scrivere

che dovrebbe avere 10 elementi (10=MCD(30,70))?

Non necessariamente, potrebbe averne anche 5 o 2 basta che è un divisore comune dei due periodi.

quindi il mio modo di svolgere l'esercizio è sbagliato?

[perplesso]

Non propio, volevo solo dire che MCD(30,70)=10 significa solo che al massimo nell'intersezione ci sono 10 elementi, tutto qua Cmq provo a darti un'idea (poi lascio a te verificarne la correttezza o meno) ... nota che \( \displaystyle {\left({1},{7},{14},{10},{8}\right)}={{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}}^{{3}} \) e quindi se \( \displaystyle {k} \) è un intero non negativo

\( \displaystyle {{s}}^{{{6}{k}}}={{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}}^{{{6}{k}}}={{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}}^{{k}} \)

quindi da \( \displaystyle {s} \) puoi ottenere tutte le potenze del 5-ciclo \( \displaystyle {\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)} \)

\( \displaystyle {{t}}^{{{14}{k}}}={{\left({1},{7},{14},{10},{8}\right)}}^{{{14}{k}}}={{\left({{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}}^{{3}}\right)}}^{{{14}{k}}}={{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}}^{{{42}{k}}}={{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}}^{{{2}{k}}} \)

e al variare di \( \displaystyle {k} \) anche da \( \displaystyle {t} \) ricaviamo tutte le potenze di \( \displaystyle {\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)} \)

quindi mi sento di affermare che l'intersezione contiene almeno i 5 elementi del sottogruppo \( \displaystyle \lt{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}\gt \). Dal 7-ciclo non ne caviamo fuori nulla perche comunque lo elevi rimane sempre un 7-ciclo, forse riusciamo a tirare fuori qualche altra cosa dal 6-ciclo, ci devo pensare un pò...

[perplesso]

E no neanche dal 6-ciclo ne esce niente infatti \( \displaystyle {{\left({2},{9},{11},{12},{5},{3}\right)}}^{{3}}={\left({2},{12}\right)}{\left({9},{5}\right)}{\left({11},{3}\right)} \) volevo vedere se riuscivo a ottenere la trasposizione \( \displaystyle {\left({3},{5}\right)} \) ma niente... ok allora \( \displaystyle \lt{s}\gt\cap\lt{t}\gt \) = \( \displaystyle \lt{\left({1},{14},{8},{7},{10}\right)}\gt \) Se non ho sbagliato qualcosa (ti prego di controllare ) l'esercizio è finito.

[sara91]

credo che sia proprio così, anche io sono giunta alla stessa conclusione... grazie