Esercizio su Prodotto Scalare

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Buongiorno a tutti, qualche giorno fa il Prof. in classe ha assegnato questo esercizio:

Sia (V,g) uno spazio euclideo e siano:
\( \displaystyle {G} \) una matrice simmetrica invertibile,
\( \displaystyle {A} \)\( \displaystyle \in \)R(n),
f\( \displaystyle \in \)End(R(n)) definito da f(\( \displaystyle {X} \))=[\( \displaystyle {A} \),\( \displaystyle {X} \)]=\( \displaystyle {A} \)\( \displaystyle {X} \)-\( \displaystyle {X} \)\( \displaystyle {A} \),
g(\( \displaystyle {X} \),\( \displaystyle {Y} \))= tr\( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) un prodotto scalare. (trasposta di X per G per Y)

Determinare il trasposto di f rispetto a g.

Vorrei sapere come si imposta questo esercizio visto che non ho capito neanche cosa si chiede e come si inizia.
Grazie a tutti quelli che risponderanno!!

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Scrivo una possibile soluzione ma non so se ho fatto degli errori nel procedimento.

Poichè \( \displaystyle {G} \)=\( \displaystyle {{G}}^{{t}} \) (\( \displaystyle {G} \) è simmetrico) si avrà che g(f(\( \displaystyle {X} \)),\( \displaystyle {Y} \)) = g(\( \displaystyle {X} \),f(\( \displaystyle {Y} \))).

g(f(\( \displaystyle {X} \)),\( \displaystyle {Y} \)) = g([\( \displaystyle {A} \),\( \displaystyle {X} \)],\( \displaystyle {Y} \)) = g(\( \displaystyle {A} \)\( \displaystyle {X} \)-\( \displaystyle {X} \)\( \displaystyle {A} \),\( \displaystyle {Y} \)) = tr \( \displaystyle ^{t} \)(\( \displaystyle {A} \)\( \displaystyle {X} \)-\( \displaystyle {X} \)\( \displaystyle {A} \))\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) = tr (\( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)-\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{X}}^{{t}} \))\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) = tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) -tr \( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \)
e
g(\( \displaystyle {X} \),f(\( \displaystyle {Y} \))) = tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)f(\( \displaystyle {Y} \))

Per la simmetria di g queste due scritture devono essere uguali e quindi devo determinare f(\( \displaystyle {Y} \)) tale che:
tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) - tr \( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) = tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)f(\( \displaystyle {Y} \))

Pongo f(\( \displaystyle {Y} \))=\( \displaystyle {{G}}^{{-{{1}}}} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) - \( \displaystyle {Y} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)

Verifico che l'uguaglianza sia rispettata:
tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)(\( \displaystyle {{G}}^{{-{{1}}}} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) - \( \displaystyle {Y} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)) = tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {{G}}^{{-{{1}}}} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) - tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \) = tr \( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \) - tr \( \displaystyle {{A}}^{{t}} \)\( \displaystyle {{X}}^{{t}} \)\( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle {Y} \)

La f(\( \displaystyle {Y} \)) così determinata è la trasposta di f rispetto a g cercata.

Errori??

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Nessuna conferma???