[algebra] esercizio su \( \displaystyle \mathbb{R}_{{{\left[{x}\right]}_{{4}}}} \)

[TommyR22]

salve ho un problema con un esercizio.
Praticamente sò che \( \displaystyle {V}={\left\lbrace{f{\in}}\mathbb{R}_{{{\left[{x}\right]}_{{4}}}}{\mid}{f{{\left({1}\right)}}}={{f}}^{{1}}{\left({1}\right)},{f{{\left(-{1}\right)}}}={2}{{f}}^{{1}}{\left(-{1}\right)}\right\rbrace} \)
e \( \displaystyle {W}={L}{\left({x}-{{x}}^{{2}}+{\left({2}{h}+{3}\right)}{{x}}^{{3}}-{{x}}^{{4}},{1}+{{x}}^{{4}}\right)} \)
il primo punto mi chiede di calcolare la dimensione e una base di \( \displaystyle {V} \).
il secondo punto di determinare il valore di h per cui la somma \( \displaystyle {V}+{W} \) è diretta
il terzo punto nel caso h=0 studiare il generico endomorfismo \( \displaystyle \phi \) di \( \displaystyle \mathbb{R}_{{{\left[{x}\right]}_{{4}}}} \) tale che \( \displaystyle \phi{\left({v}\right)}={2}{v} \) per ogni \( \displaystyle {v} \) appartenente a \( \displaystyle {V} \),\( \displaystyle \phi{\left({W}\right)}\subseteq{W} \) e \( \displaystyle \dim{K}{e}{r}{\left(\phi\right)}\ge{1} \)

mio procedimento:
1)allora V è un sottospazio associato ai polinomi di 4° grado, ma nonostante tutto non riesco a capire le sue caratteristiche cioè f(1) ecc. in modo da trovarmi una base e la sua relativa dimensione.
2)so che la somma è diretta se \( \displaystyle \dim{\left({V}\cap{W}\right)}=\dim{V}+\dim{W}-\dim{\left({V}+{W}\right)}={0} \) in ogni caso devo trovarmi la dimensione di V e W.la dimensione di V non so trovarmela(spero in qualche vostro aiuto )la dimensione di W credo sia 4 poichè dipende da 4 incognite.
3)dovrei trovarmi la matrice associata a questo endomorfismo ma non capisco il modo.

Capisco che è un esercizio (almeno per me) abbastanza ostico ma chiedo solamente un vostro suggerimento per la risoluzione.grazie =)

grazie..

[TommyR22]

nessuno può darmi almeno un'idea per questo esercizio?