Esercizio su \( \displaystyle {{S}}^{{3}} \)

[squalllionheart]

Sulla circonferenza unitaria \( \displaystyle {{S}}^{{3}} \) si considerino \( \displaystyle {N} \) e \( \displaystyle {S} \) due punti e C una circonferenza di raggio massimo.
si determinino i gruppi fondamentali di:
\( \displaystyle {{S}}^{{3}}-{\left\lbrace{N},{S}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {{S}}^{{3}}-{C} \)
\( \displaystyle \frac{{{S}}^{{3}}}{\mathbb{Z}_{{3}}} \)
Allora per il primo sono partita dalla relazione \( \displaystyle {{S}}^{{n}}-{\left\lbrace{p}\right\rbrace} \) è omeomorfo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) dunque \( \displaystyle {{S}}^{{n}}-{\left\lbrace{N},{S}\right\rbrace} \) è omeomorfo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}}-{\left\lbrace{p}\right\rbrace} \) ora \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}}- \) un numero finito di punti è semplicemente connesso, dunque il gruppo fondamentale del primo è banale.
P.s(come lo dimostro che \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}}- \){numero finito di punti} ha gruppo fondametale banale?)
2.\( \displaystyle {{S}}^{{3}}-{C} \) l'ho pensata come unione di due emisferi privati dell'equatore, ho pensato alla proiezione stereografica sotto e sopra, quindi due dischi e ho pensato che sono omotopi a due punti(di questo non sono certissima)
3. \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) dato che \( \displaystyle {{S}}^{{3}} \) è semplicemente connesso e \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) è un'azione propriamente discontinua.

[vict85]

Sulla circonferenza unitaria \( \displaystyle {{S}}^{{3}} \) si considerino \( \displaystyle {N} \) e \( \displaystyle {S} \) due punti e C una circonferenza di raggio massimo.
si determinino i gruppi fondamentali di:
\( \displaystyle {{S}}^{{3}}-{\left\lbrace{N},{S}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle {{S}}^{{3}}-{C} \)
\( \displaystyle \frac{{{S}}^{{3}}}{\mathbb{Z}_{{3}}} \)
Allora per il primo sono partita dalla relazione \( \displaystyle {{S}}^{{n}}-{\left\lbrace{p}\right\rbrace} \) è omeomorfo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) dunque \( \displaystyle {{S}}^{{n}}-{\left\lbrace{N},{S}\right\rbrace} \) è omeomorfo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}}-{\left\lbrace{p}\right\rbrace} \) ora \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}}- \) un numero finito di punti è semplicemente connesso, dunque il gruppo fondamentale del primo è banale.
P.s(come lo dimostro che \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}}- \){numero finito di punti} ha gruppo fondametale banale?)
2.\( \displaystyle {{S}}^{{3}}-{C} \) l'ho pensata come unione di due emisferi privati dell'equatore, ho pensato alla proiezione stereografica sotto e sopra, quindi due dischi e ho pensato che sono omotopi a due punti(di questo non sono certissima)
3. \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) dato che \( \displaystyle {{S}}^{{3}} \) è semplicemente connesso e \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) è un'azione propriamente discontinua.

1) Allora \( \displaystyle {S}_{{3}} \) senza un punto è omeomorfo a \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) togliendo ancora un punto si ha \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) senza un punto che è omeomorfo a \( \displaystyle {{S}}^{{2}} \)...
2) 2 componenti connesse, entrambe semplicemente connesse... Quindi il gruppo fondamentale è banale ovunque
3) dovrebbe essere giusto...

[squalllionheart]

scusa per la prima intendi \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}}-{\left\lbrace{p}{u}{n}\to\right\rbrace} \) omotopo a \( \displaystyle {{S}}^{{2}} \)?

[vict85]

scusa per la prima intendi \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}}-{\left\lbrace{p}{u}{n}\to\right\rbrace} \) omotopo a \( \displaystyle {{S}}^{{2}} \)?

Si, beh... dividi per la norma dei punti traslati in modo tale che il punto sia in \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \)

[squalllionheart]

si perchè nel topic di prima hai scritto due volte omeomorfo

[vict85]

si perchè nel topic di prima hai scritto due volte omeomorfo

era fuso...