Esercizio su Sfera e Circonferenza

[Lucalupen]

Nello spazio si consideri la circonferenza C intersezione della sfera S di equazione x^2+y^2+z^2-4x-2z+1= 0 con il piano alfa=x+y=1

a) determinare il centro e il raggio di C
b) scrivere l'equazione del cilindro che ammette C come direttrice ed ha le generatrici perpendicolari al piano alfa....

ho trovato il centro della sfera ( 2,0,1) e il raggio della sfera=2
ho pensato che se il centro della circonferenza C (chiamiamolo H) il vettore che parte dal centro della sfera e arriva al centro della circonferenza è perpendicolare al piano alfa. solo che non so + come andare avanti!

[vittorino70]

Sia P(a,b,c) un punto qualsiasi di C.La generatrice generica del cilindro sarà la normale al piano alfa per P di equazioni:
\(\displaystyle x-a=y-b,z=c \)
Poiché P appartiene a C le sue coordinate soddisfano anche le equazioni di C.Pertanto avremo il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} x-a=y-b\\z=c\\a+b=1\\ a^2+b^2+c^2-4a-2c+1=0\end{cases}\)
Dalle prime tre equazioni si ha:
\(\displaystyle \begin{cases}a=\frac{x-y+1}{2} \\b=\frac{-x+y+1}{2} \\c=z\end{cases} \)
Sostituiamo nella quarta equazione del sistema ed avremo l'equazione del cilindro:
\(\displaystyle (\frac{x-y+1}{2})^2 +(\frac{-x+y+1}{2})^2 +z^2-4(\frac{x-y+1}{2})-2z+1=0 \)

[dissonance]

@Luca: Togli HELP ME PLEASE dal titolo e anche dal corpo del testo per favore. Consulta il regolamento, che trovi nel box rosa in alto. Grazie.