esercizio sui vettori (da vedere)

[clever]

Ci sono tre forze complanari
\( \displaystyle {F}_{{1}}={3}{N} \)
\( \displaystyle {F}_{{2}}={4}{N} \)
\( \displaystyle {F}_{{3}}={5}{N} \)
il punto deve essere in equilibrio, trovare gli angoli compresi tra le forse.

mio svolgimento:
per l'equilibrio: \( \displaystyle {F}_{{1}}++{F}_{{2}}+{F}_{{3}}={0} \)
per gli angoli: \( \displaystyle \alpha+\beta+\gamma={0} \)
a sistema queste condizioni
\( \displaystyle {\left|{F}_{{1}}-{F}_{{2}}\right|}=\sqrt{{{{\left({F}_{{1}}\right)}}^{{2}}+{{\left({F}_{{2}}\right)}}^{{2}}-{2}\cdot{F}_{{1}}\cdot{F}_{{2}}\cdot{\cos{{\left(\alpha\right)}}}}} \)

\( \displaystyle {\left|{F}_{{3}}-{F}_{{2}}\right|}=\sqrt{{{{\left({F}_{{3}}\right)}}^{{2}}+{{\left({F}_{{2}}\right)}}^{{2}}-{2}\cdot{F}_{{3}}\cdot{F}_{{2}}\cdot{\cos{{\left(\beta\right)}}}}} \)

\( \displaystyle {\left|{F}_{{3}}-{F}_{{1}}\right|}=\sqrt{{{{\left({F}_{{3}}\right)}}^{{2}}+{{\left({F}_{{1}}\right)}}^{{2}}-{2}\cdot{F}_{{3}}\cdot{F}_{{1}}\cdot{\cos{{\left(\gamma\right)}}}}} \)

inoltre pongo \( \displaystyle \alpha={180}-{\left(\beta+\gamma\right)} \)

come condizioni ci sono anche:
\( \displaystyle {\left(\frac{{\left|{F}_{{1}}-{F}_{{2}}\right|}}{{\sin{{\left(\alpha\right)}}}}\right)}=\frac{{\left|{F}_{{3}}-{F}_{{2}}\right|}}{{{\sin{{\left(\beta\right)}}}}}=\frac{{\left|{F}_{{3}}-{F}_{{1}}\right|}}{{{\sin{{\left(\gamma\right)}}}}} \)


facendo i vari passaggi mi sono trovato in una posizione critica:
\( \displaystyle {34}-{30}\cdot{\cos{{\left(\gamma\right)}}}={\left({36}-{40}\cdot{\cos{{\left(\beta\right)}}}\right)}\cdot\frac{{{1}-{{\cos}}^{{2}}{\left(\gamma\right)}}}{{{1}-{{\cos}}^{{2}}{\left(\beta\right)}}} \)

vorrei trovare il \( \displaystyle {\cos{{\left(\gamma\right)}}} \) in funzione di \( \displaystyle {\cos{{\left(\beta\right)}}} \) e poi trovarmi che:
\( \displaystyle {\cos{{\left(\alpha\right)}}}={\cos{{\left({180}-{\left(\beta+\gamma\right)}\right)}}}=-{\cos{{\left(\beta+\gamma\right)}}}=-{\left({\cos{{\left(\beta\right)}}}\cdot{\cos{{\left(\gamma\right)}}}-{\sin{{\left(\beta\right)}}}\cdot{\sin{{\left(\alpha\right)}}}\right)} \)

[adaBTTLS]

scusami, ma non è una terna pitagorica?

[clever]

No, i tre vettori sono messi non in modo tale da usare la 'terna pitagorica'.
Potrei fare un disegno e postarlo, se non è chiaro :S

[adaBTTLS]

sì, forse è opportuno.
però, dici che i tre vettori sono complanari e che devono farsi equilibrio, dunque, a meno dei punti di applicazione che coinvolgono i momenti e non le forze, la somma vettoriale di due di essi (in particolare dei due più "piccoli") è uguale ed opposta al terzo vettore, dunque in particolare deve avere modulo uguale a quello del terzo vettore. e come sono messi i due vettori di 3 e 4 newton se la risultante deve misurare 5 N ?

[clever]

ada, ti riporto tutto il testo, che ho cambiato i numeri, ma in sostanza è sempre lo stesso.
Il testo dice:

'Tre forze complanari applicate in un punto hanno intensità: \( \displaystyle {4} \), \( \displaystyle {5} \), \( \displaystyle {6}{N} \); se il punto è in equilibrio, quali sono gli angoli fra le tre forze? calcolare a meno di \( \displaystyle {1}' \)
Se la prima forza viene diminuita di \( \displaystyle {0},{01}{N} \) di quanto variano gli angoli?
Risultati:
\( \displaystyle \alpha={97} \)

\( \displaystyle \beta={138} \)

\( \displaystyle \gamma={124} \) (tutti in gradi)

quando tu dici '' la somma vettoriale di due di essi (in particolare dei due più "piccoli") è uguale ed opposta al terzo vettore,''
l'avevo proposto al prof di esercitazione, e mi disse che il testo non specificava ciò, dunque è sbagliato.
:S io ho dato un mio svolgimento (quello di stamane) credo andasse bene....

[GIBI]

... segui il consiglio di adaBTTLS.

[clever]

cioè:
\( \displaystyle {F}_{{1}}+{F}_{{2}}=-{F}_{{3}} \) ?

[adaBTTLS]

con Carnot si trovano gli angoli \( \displaystyle \theta,\phi \), tali che \( \displaystyle \alpha=\theta+\phi,\beta=\pi-\theta,\gamma=\pi-\phi \)
in gradi sessagesimali, approssimati ai primi, si hanno questi risultati:
\( \displaystyle \alpha={{97}}^{\circ}{11}',\beta={{138}}^{\circ}{14}',\gamma={{124}}^{\circ}{35}' \)
che variano così secondo le richieste successive:
\( \displaystyle \alpha={{97}}^{\circ}{05}',\beta={{138}}^{\circ}{42}',\gamma={{124}}^{\circ}{13}' \)

[GIBI]

... la chiave di problema è il triangolo e in generale la risultante è nulla se il poligono delle forze è chiuso.

[clever]

con Carnot si trovano gli angoli \( \displaystyle \theta,\phi \), tali che \( \displaystyle \alpha=\theta+\phi,\beta=\pi-\theta,\gamma=\pi-\phi \)
in gradi sessagesimali, approssimati ai primi, si hanno questi risultati:
\( \displaystyle \alpha={{97}}^{\circ}{11}',\beta={{138}}^{\circ}{14}',\gamma={{124}}^{\circ}{35}' \)
che variano così secondo le richieste successive:
\( \displaystyle \alpha={{97}}^{\circ}{05}',\beta={{138}}^{\circ}{42}',\gamma={{124}}^{\circ}{13}' \)

come hai applicato Carnot? A quali triangoli?
I risultati sono esatti.
Vorrei capire il disegno xD

@Gibi
la chiave di problema è il triangolo e in generale la risultante è nulla se il poligono delle forze è chiuso. (cit)
per poligono delle forze cosa intendi?