Esercizio sul ker

[Andrea990]

Buongiorno,
Avrei un esercizio da proporre...

Si indichi una matrice \( \displaystyle {A}\in{\mathbb{R}}^{{3}}\cdot{3} \), tale che:

\( \displaystyle {k}{e}{r}{L}_{{A}}={\left\lbrace{x}\in{\mathbb{R}}^{{3}}:{2}{x}_{{1}}-{3}{x}_{{2}}+{x}_{{3}}={0}\right\rbrace} \)

Se fosse stato al posto di ker l'immagine di \( \displaystyle {L}_{{a}} \) dovevo cercarmi una base di questa, verificare quante erano le soluzioni e, poiché dim.Immagine=rango di A, prendere uno, due...(dipende dalla dim.Im) elementi di \( \displaystyle {k}{e}{r}{L}_{{A}} \) e imporre al determinante dei minori superiori che facessero 0(ad esempio rankA=2, dunque det di un minore 3x3=0)... Giusto?

In questo caso invece mi trovo a mio avviso in un problemuccio...
Ho provato a fare come nel caso sopra descritto... cioé ho cercato una base del \( \displaystyle {k}{e}{r}{L}_{{A}} \)
Ho trovato che tale base deve avere 2 dimensioni... Dunque sono arrivato a capire tramite la somma diretta che la dim ImL_A=1,
Dunque il rango =1.

Solo che se volessi trovare A utilizzando il procedimento sopra (con \( \displaystyle {I}{m}{L}_{{A}} \)) dovrei dimostrare ad esempio A ha rango=1, quindi arriverei alla conclusione che non esiste una base del \( \displaystyle {k}{e}{r}{L}_{{A}} \) in cui sia valida questa condizione...

C'è un metodo diverso da utilizzare?

Grazie,
Andrea

[Lorin]

Non potresti sfruttare il fatto che l'equazioni del \( \displaystyle {K}{e}{r}{f} \) sono del tipo \( \displaystyle {A}{X}={0} \) dove \( \displaystyle {A}{X} \) indica il prodotto righe per colonne di una determinata matrice con le incognite \( \displaystyle {\left({x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}}\right)} \)?

Nel tuo caso, le incognite le hai, quindi dovresti poter ricavare la matrice.

[Andrea990]

Scusa...
Non ho capito tanto bene come posso utilizzare questo metodo...
Mi potresti mostrare la tua risoluzione?

In più... non so se hai visto, ma ho pubblicato un nuovo argomento... esercizi con parametro... se me lo sapresti spiegare ti sarei molto grato...

Grazie ancora,
Andrea

[Lorin]

Spiegami cosa non hai capito...

[Andrea990]

come mi ricavo A? Devo semplicemente mettere dei valori ai vettori di modo che rendano valida la condizione del ker?

La formula la conoscevo... ma in questo contesto non capisco l'utilità di essa...
Scusa... Se non ti dispiace me lo puoi mostrare lo svolgimento?

Grazie,
Andre

[Lorin]

Tu stessi hai detto che dal tuo ragionamento arrivavi a capire che la matrice era composta da una sola riga, e secondo me per trovare questa matrice basta prendere i coefficienti dell'equazione del Ker, sfruttando il fatto che \( \displaystyle {A}{X}={0} \) ti dà l'equazioni del Kerf

[Andrea990]

Scusa Lorin...
Hai ragione.. mi ero confuso... ora torna... Ti ringrazio davvero...^^

[ImpaButty]

andrea, potrei sapere com'è la matrice che hai otttenuto?
Ho cercato di risolvere l'esercizio e vorrei vedere se il risultato è corretto...
Grazie! n_n

[Andrea990]

Ecco l'esercizio:

\( \displaystyle {k}{e}{r}{L}_{{A}}={\left\lbrace{x}\in{\mathbb{R}}^{{3}}:{2}{x}_{{1}}-{3}{x}_{{2}}+{x}_{{3}}={0}\right\rbrace} \)

Mi sono trovato due elementi a caso della base:

\( \displaystyle {k}{e}{r}{L}_{{A}}=\lt{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{1}}\right)},{\left(\matrix{{1}\\{0}\\-{2}}\right)}\gt \)

Guardo come opera \( \displaystyle {L}_{{A}} \) sulla base:

\( \displaystyle {L}_{{A}}{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right)} \) perché è un vettore del ker
idem l'altro vettore

Siccome la matrice è 3X3 aggiungo un altra colonna, ad esempio:

\( \displaystyle {L}_{{A}}{\left(\matrix{{1}\\{0}\\{0}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}}\right)} \) L'importante qui è che non faccia parte del ker...

Dunque ho ottenuto che:

\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}}\right)} \)