Devo stabilire se i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel convergono per la matrice: \( \displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&-2& 2 \\ -1 &
1 & -1 \\ -2 & -2 &1 \end{bmatrix} \) .
Dal momento che:
Condizione necessaria e sufficiente affinché un metodo iterativo della forma \( \displaystyle \mathbf{x}^{(k+1)}=A\mathbf{x}^{(k)}+C \) sia convergente è che il raggio spettrale \( \displaystyle \rho(A) \) della matrice d'iterazione sia minore di uno
calcolo il polinomio caratteristico della matrice \( \displaystyle A \) che risulta: \( \displaystyle p(\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1 \) . Risolvendo l'equazione \( \displaystyle p(\lambda)=0 \) ottengo \( \displaystyle \lambda=1 \) (con molteplicità algebrica pari a 3). Essendo \( \displaystyle \rho(A)=\max\{|\lambda_i|\}=1 \) , concludo che i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel non sono convergenti per la matrice \( \displaystyle A \) .
Mi chiedo:
1) La risoluzione da me proposta è corretta?
2) Ho interpretato correttamente la richiesta dell'esercizio? Cioè: dire che i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel sono convergenti per la matrice \( \displaystyle A \) sottintende che \( \displaystyle A \) sia la matrice di iterazione del metodo iterativo in oggetto (Jacobi o Gauss-Seidel)?
Spero di essere stato chiaro.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
