Esercizio sull'integrale di hamilton-jacobi

[*brssfn76]

Salve a tutti....

è un po' che non posto un problema ma ora ne ho uno singolare che richiede forse una tecnica di calcolo che non ho mai incontrato prima.
L'argomento è meccanica analitica:

Data l'hamiltoniana \( \displaystyle {H}=\frac{{1}}{{4}}{m}{\left({\rho_{{1}}^{{2}}}+{\rho_{{2}}^{{2}}}\right)}+\frac{{K}}{{2}}{{\left({x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)}}^{{2}}+\frac{{{m}{g}}}{{2}}{\left({x}_{{1}}-{2}{x}_{{2}}\right)} \) si richiede di ricavare un integrale completo del tipo:

\( \displaystyle {S}=-\alpha_{{1}}{t}+{f{{\left({x}_{{1}}+{x}_{{2}}\right)}}}+{g{{\left({x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)}}} \)

Si tratta in pratica di azzeccare un cambio di variabili (non ho mai avuto buon occhio..) tale per cui si riesca a rendere l'equazione a variabili separabili, quindi spezzarla in 2 parti e renderli uguali ad una costante (appunto detta metodo delle variabili separabili nella teoria di Hamilton - Jacobi per i curiosi dei dettagli si veda "Method of Mathematical Physics" Vol2 scritto da Courant-Hilbert).

Io sto provando questo cambio di var:

\( \displaystyle {x}_{{1}}+{x}_{{2}}={u},{x}_{{1}}-{x}_{{2}}={v} \)

qualcuno può dirmi se pensa sia una strada giusta? in alternativa?

[*brssfn76]

Provo a postare quello che ho fatto usando quel cambio di var.... chiedo a qualcuno se la via utilizzata sembra essere sensata oppure no:

occorre trovare una \( \displaystyle {S}{\left({t},{x}_{{1}},{x}_{{2}},\alpha{1},\alpha{2}\right)} \) tale che \( \displaystyle \frac{{\partial{S}}}{{\partial{t}}}+{H}{\left({t},{x}_{{1}},{x}_{{2}},\frac{{\partial{S}}}{{\partial{x}_{{1}}}},\frac{{\partial{S}}}{{\partial{x}_{{2}}}}\right)}={0} \)

cio posto l'hamiltoniana diventa :

\( \displaystyle \frac{{\partial{S}}}{{\partial{t}}}+\frac{{1}}{{{4}{m}}}{\left({{\left(\frac{{\partial{S}}}{{\partial{x}_{{1}}}}\right)}}^{{2}}+{{\left(\frac{{\partial{S}}}{{\partial{x}_{{2}}}}\right)}}^{{2}}\right)}+\frac{{k}}{{2}}{{\left({x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)}}^{{2}}+{m}\frac{{g}}{{4}}{\left({x}_{{1}}-{2}{x}_{{2}}\right)} \)

ora il cambio di variabili trasforma l'hamiltoniana in :

\( \displaystyle -\alpha{1}+\frac{{1}}{{2}}{m}{\left({{\left(\frac{{\partial{S}}}{{\partial{u}}}\right)}}^{{2}}+{{\left(\frac{{\partial{S}}}{{\partial{v}}}\right)}}^{{2}}\right)}+\frac{{k}}{{2}}{{v}}^{{2}}+\frac{{{m}{g}}}{{4}}{\left({3}{v}-{u}\right)} \)

se questo passaggio è giusto (c'e' qualcuno che può dirmi se lo è?) la hamiltoniana si può separare in 2 parti in modo da rendere la loro somma nulla.
Posto il resto appena qualcuno mi conferma se ho scritto esattezze o schifezze

grazie

[Cantaro86]

ciao,
non ho mai fatto esercizi su questa parte di H-J, quindi non sono affidabile al 100% , ma mi pare che la prima parte sia giusta...
fino ad ora hai scritto l'equazione di H-J e hai fatto il cambio di variabili per separare l'Hamiltoniana...
ora dovresti sostituire nell'equazione di H-J (quella con le nuove variabili) l'espressione della \( \displaystyle {S}{\left({t},{f{{\left({u}\right)}}},{g{{\left({v}\right)}}}\right)} \) e arriverai così ad avere 2 equazioni differenziali: una per \( \displaystyle {f{{\left({u}\right)}}} \) e una per \( \displaystyle {g{{\left({v}\right)}}} \)
risolvendole (e a prima vista non mi sembra per niente facile) l'esercizio sarà finito.

poi scrivimi se ti viene giusto e cosa ti viene...

è da tanto tempo che scrivi esercizi sul metodo di H-J... è un esame difficile o ti piace l'argomento?? (o altro??)
ciao

[*brssfn76]

Dunque per il resto del esercizio che ho in brutta lo scriverò questa sera .......sono appena arrivato da lavoro e crollo.....
l'esame di meccanica razionale lo affronterò a Settembre xchè durante l'anno non sono riuscito a studiarlo bene come volevo proprio xchè la materia mi interessa molto e non mi andava di andarci a febbraio per prendere un 22. Meglio lavorarci ancora x un mese senza distrazioni di altre materie, inoltre ho acquistato un bellissimo libro di esercizio sulla parte di meccanica hamiltoniana che proprio ora sto sfogliando per guardare le diverse tecniche di calcolo.
Si intitola Lagrangian&Hamiltonia mechanics - soluctions to the exercices e devo dire che copre una grossa lacuna della letteratura scientifica dell'argomento.
Nella mia biblioteca non ho trovato alcun eserciziario valido come questo sulla parte hamiltoniana mentre sulle lagrangiane devo dire che il bampi-benati morro è veramente uno dei migliori libri di esercizi che mi sia capitato per le mani.....peccato che non sia + in ristampa altrimenti lo acquisterei subito; viene molto bene anche per dare un altro esame di fisica.....comunque ora mi si chiudono gli occhi, vado a nanna e questa sera ti posto il resto della soluzione ma mi sa che rimarrà una parte nella forma implicita...... quella radice quadrata non mi farà dormire un granchè.......
bye

[*brssfn76]

Cerchiamo una soluzione del tipo \( \displaystyle \frac{{\partial{S}}}{{\partial{t}}}+{H}={0} \) percio:

\( \displaystyle -{2}{m}\alpha_{{1}}+{{\left(\frac{{\partial{f}}}{{\partial{u}}}\right)}}^{{2}}-\frac{{{{m}}^{{2}}{g}}}{{2}}{u}+{{\left(\frac{{\partial{g}}}{{\partial{v}}}\right)}}^{{2}}+\frac{{{3}{{m}}^{{2}}{g{{v}}}}}{{2}}+{m}{k}{{v}}^{{2}}={0} \)

scrivo il sistema:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{-{2}{m}\alpha_{{1}}+{{\left(\frac{{\partial{f}}}{{\partial{u}}}\right)}}^{{2}}-\frac{{{{m}}^{{2}}{g}}}{{2}}{u}=-{{\left(\alpha_{{2}}\right)}}^{{2}}\\{{\left(\frac{{\partial{g}}}{{\partial{v}}}\right)}}^{{2}}+{m}{k}{{v}}^{{2}}+\frac{{{3}{{m}}^{{2}}{g{{v}}}}}{{2}}={{\left(\alpha_{{2}}\right)}}^{{2}}}\right.} \)\( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{\frac{{\partial{f}}}{{\partial{u}}}=\pm\sqrt{{{2}{m}\alpha_{{1}}+\frac{{{{m}}^{{2}}{g{{u}}}}}{{2}}-{\alpha_{{2}}^{{2}}}}}\\\frac{{\partial{g}}}{{\partial{v}}}=\pm\sqrt{{{\alpha_{{2}}^{{2}}}-\frac{{{3}{{m}}^{{2}}{g{{v}}}}}{{2}}-{m}{k}{{v}}^{{2}}}}}\right.} \)

ora ci sarebbero da risolvere gli integrali :

\( \displaystyle {f{{\left({u}\right)}}}=\pm\int\sqrt{{{2}{m}\alpha_{{1}}+\frac{{{{m}}^{{2}}{g{{u}}}}}{{2}}-{\alpha_{{2}}^{{2}}}}}{d}{u} \) e \( \displaystyle {g{{\left({v}\right)}}}=\pm\int\sqrt{{{\alpha_{{2}}^{{2}}}-\frac{{{3}{{m}}^{{2}}{g{{v}}}}}{{2}}-{m}{k}{{v}}^{{2}}}}{d}{v} \)

ottengo quindi che

\( \displaystyle {S}=-\alpha_{{1}}\cdot{t}\pm\frac{{4}}{{3}}\frac{{{\left({2}{m}\alpha_{{1}}-{\alpha_{{2}}^{{2}}}+\frac{{{{m}}^{{2}}{g}}}{{2}}{\left({x}_{{1}}+{x}_{{2}}\right)}\right)}}^{{\frac{{3}}{{2}}}}}{{{{m}}^{{2}}{g}}}\pm\int\sqrt{{{\alpha_{{2}}^{{2}}}-\frac{{{3}{{m}}^{{2}}{g{{\left({x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)}}}}}{{2}}-{m}{k}{{\left({x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)}}^{{2}}}}{d}{\left({x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)} \)

lascio il terzo termine nella forma implicita perchè non sono ancora riuscito a risolverlo..... la vedo dura cmq vi sembra ok ?? io sono arrivato fino a qui e se riesco a risolvere l'integrale ne posto la soluzione

bye

[Cantaro86]

fai bene a darlo a settembre e a studiarlo bene...
a me è capitato un paio di volte (nei primi 2 anni) di dare un esame senza avere ben capito la materia, e poi me ne sono pentito...(e me la sono dovuta ristudiare )

tornando all'esercizio, il procedimento è giusto e per vedere se quegl'integrali sono venuti giusti, alla fine si può sempre fare la prova e inserirli nell'equazione di H-J per vedere se la soddisfa

[*brssfn76]

Guarda io con gli appelli ho imparato una cosa:

non ha senso dare tutti gli esami in una botta, nel senso che beato chi ci riesce, ma una mente normale ha bisogno dei suoi tempi per prendere dimestichezza con le varie materie. La verità è che quando arrivi dal liceo hai l'idea della vacanza da 3 mesi Giugno+Luglio+Agosto e viene naturale provare a fare tutto in una botta!
La realtà è che all'università non esiste + la vacanzona ma i 10 giorni come tutti i normali lavoratori, perchè se stai 3 mesi lasciando i libri in naftalina alla fine paghi (in particolare nelle materie scientifiche).
Eppoi i programmi universitari sono diventati veramente striminziti rispetto ad una volta.....meglio utilizzare un po' di tempo d'estate per approfondire argomenti visti durante l'anno, preparare un appello o semplicemente lavorare su argomenti dove uno si sente + debole.

bye

[Cantaro86]

La realtà è che all'università non esiste + la vacanzona ma i 10 giorni come tutti i normali lavoratori