Esercizio sulla connessione

[squalllionheart]

Sia X uno spazio connesso e \( \displaystyle {Y} \) tale che \( \displaystyle {\overline{{X}}}\supset{Y}\supset{X} \) dimostrare che \( \displaystyle {Y} \) connesso. Allora la chiusura di \( \displaystyle {X} \) è un connesso, ora supponiamo che \( \displaystyle {Y}={A}\cup{B} \) cioè che \( \displaystyle {Y} \) non sia la connesso avremo che \( \displaystyle {Y}={A}\cup{B}\supset{X} \) poichè \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) sono disgiunti e \( \displaystyle {X} \) è connesso o \( \displaystyle {A}\supset{X} \) o \( \displaystyle {B}\supset{X} \) ora in entrambi i casi \( \displaystyle {\overline{{A}}}\supset{\overline{{X}}} \) o \( \displaystyle {\overline{{B}}}\supset{\overline{{X}}} \) ma questo contraddice il fatto che la chiusura di \( \displaystyle {X} \) contenga Y dato che A e B sono disgiuti.