Esercizio sulla risolubilità (di un gruppo)

[claudiamatica]

Ciao a tutti, rieccomi.

L'esercizio stavolta è il seguente:
Dimostrare che un gruppo G di ordine $ p^mq $ con p e q primi distinti, è risolubile. (senza usare il th. di Burnside, naturalmente)
La dimostrazione è articolata in varie fasi (il mio problema è nel dimostrare il CASO 2), e si basa sui teoremi di Sylow sui p-sottogruppi.
La strategia di base consiste nel mostrare che G contiene un sottogruppo normale.
Considerato l'insieme dei p-sottogruppi di Sylow (che indichero con p-sylow) di G, il numero degli elementi deve essere congruo a 1 mod p e dividere q. E' chiaro quindi che se q non è congruo a 1 mod p c'è un solo p-sylow, ed è essendo i p-sylow coniugati tra loro questo è normale, e abbiamo finito.
Se invece q è congruo a 1 modulo p i p-sylow possono essere q, e quindi non sappiamo niente sulla loro eventuale normalità.

CASO 1: l'intersezione di ogni coppia di p-sylow è banale.
In questo caso la dim. del fatto che c'è un unico q-sylow (quindi normale) è facile, e si basa su considerazioni riguardanti l'ordine degli elementi. La ometto, ma se qualcuno vuole leggerla posso aggiungerla.

CASO 2: c'è almeno una coppia di p-sylow che ha intersezione non banale.
Scelta la coppia di p-sylow con la più grande intersezione possibile, diciamo $P_1$ e $P_2$, e l'esercizio ci guida in questa direzione:
Costruiamo $ N_i={g in P_i : g(P_1 nn P_2) g^{-1}=P_1 nn P_2} $ per i=1,2 (ovvero i normalizzanti di quella intersezione rispettivamente fatti dentro $P_1$ e dentro $P_2$.
E poi dice di considerare $J=<N_1,N_2>$ che se capisco bene la notazione, è il sottogruppo generato da $N_1$ ed $N_2$.
A questo punto suggerisce di dimostrare che J non è un p-gruppo.
La strategia consisterebbe nel trovare un sottogruppo di J che è auto-normalizzante, ovvero coincide con il proprio normalizzante e quindi non vi è propriamente incluso (condizione necessaria che si verifica invece nei p-gruppi).

La mia difficoltà è esattamente questa, ovvero non riesco a dimostrare questa cosa.
Ho provato a cercare un sottogruppo di J che fosse auto-normalizzante (N1 ed N2 sembrano i candidati più naturali) ma non riesco a dimostrare quello che vorrei. In più ho una perplessità: se J è generato da N1 ed N2, e questi sono contenuti rispettivamente in P1 e P2 che sono p-gruppi, io ne dedurrei che ciascun elemento di J ha necessariamente ordine che è una potenza di p, visto che risulterebbe mcm tra ordini che sono potenze di p. Cosa sto sbagliando? è possibile che la notazione <N1,N2> non indichi il sottogruppo generato da N1 ed N2?

Grazie mille,
Claudia

[Martino]

Problema molto interessante, e anzi ti chiederei di dirmi per favore dove prendi i problemi che proponi, sono molto belli.

Questo fine settimana purtroppo non ho molto tempo per pensarci, ma lo farò di sicuro (mi risulta inevitabile).

Nel frattempo faccio solo un commento:

se J è generato da N1 ed N2, e questi sono contenuti rispettivamente in P1 e P2 che sono p-gruppi, io ne dedurrei che ciascun elemento di J ha necessariamente ordine che è una potenza di p, visto che risulterebbe mcm tra ordini che sono potenze di p. Cosa sto sbagliando?

L'ordine di un prodotto di due elementi in generale è diverso dal mcm degli ordini se tali due elementi non commutano. Prendi per esempio gli elementi (12) e (123) nel gruppo simmetrico S3.

PS. Sei in Olanda vero? Leiden? Algant? Lenstra?

[claudiamatica]

Ciao!
Si sono in Olanda, ad Amsterdam.
Il corso in cui ci danno gli esercizi che sto proponendo è Representation Theory.
La pagina del corso è http://www.win.tue.nl/mm-representation ... cises.html
ho idea che gli altri colleghi si riuniscano un po' in gruppetti per lavorare sugli esercizi.. ma fino ad ora non sono riuscita a infilarmi in nessuno di questi, quindi mi tocca pensarci da sola (ovvero con voi).
Fammi sapere se ti viene in mente qualcosa.. più difficili sono gli esercizi che consegno più chances ci sono di prendere un voto alto.
A presto,
Claudia

[Martino]

Sai, ho pensato molto a cosa scriverti (una settimana, come vedi).

So come si risolve l'esercizio, ma visto che andrà a contribuire direttamente al tuo voto preferisco darti solo il seguente suggerimento. Osserva che con un artificio (usando la massimalità) puoi metterti nel caso in cui \( \displaystyle N_2 \subseteq P_1 \) , e da questo ottieni facilmente un sottogruppo che si auto-normalizza.

Poi permettimi di darti un consiglio: secondo me sarebbe molto proficuo per te se ti unissi a qualche gruppo di studio che si è creato. In questo modo infatti potresti confrontarti con studenti col tuo stesso livello di esperienza, e questo, ti assicuro, è impagabile.

Ciao

[claudiamatica]

So bene di cosa parli, quando parli di "collaborazione tra studenti dello stesso livello", perchè è una cosa a cui sono abituata.
Sono all'ultimo anno di magistrale, non alle prime armi. Il problema qui è che non è facile.. i "dutch" sono abbastanza chiusini, e le classi che sto frequentando non smentiscono lo stereotipo. In più i prof. spiegano pochino e maluccio, per cui mi ritrovo spesso sola davanti ai testi per capire qualcosa.Il che è anche bello, ma prende più tempo. Ecco perchè (oltre a lavorare via-skype o quant'altro con amici/colleghi italiani), ho pensato di cercare lo scambio alla pari di cui parli proprio qui.

Grazie per i tuoi suggerimenti, e per l'interesse che mostri per gli esercizi che propongo.
C.