Esercizio sulle congruenze lineari

[Taniab]

Al variare di \( \displaystyle {k} \) in\( \displaystyle {N} \), determinare l’ultima cifra decimale (cifra delle unità) del numero \( \displaystyle {{2}}^{{{{2}}^{{k}}}}+{6} \).
Come posso risolvere l'esercizio? L'unica idea che ho avuto è che ovviamente il numero deve essere pari, quindi l'insieme dei valori che la cifra delle unità può assumere deve essere ristretto a \( \displaystyle {\left[{0},{2},{4},{6},{8}\right]} \), ma per il resto niente ...

[Martino]

Moderatore: Martino
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Hai provato a ridurre modulo \( \displaystyle 10 \) ?

[Taniab]

L'ho risolto con una congruenza lineare e applicando l'isomorfismo da \( \displaystyle {Z}_{{10}}\to{Z}_{{2}}{X}{Z}_{{5}} \) . Prima però ho diviso i due casi \( \displaystyle {k}\gt{0},{k}={0} \).

[Icarocremisi]

Spero di aver capito bene l' esercizio.
allora eliminando i reali, e partendo esclusivamente dalla potenza di una potenza di 2.
ad esclusione di k=0, e k=1.

tutte le soluzioni devono dare +6, 12, quindi l' ultima cifra è 2.
La dimostrazione è semplice.
Ogni elevazione a potenza di potenza diventa, in sostanza, per k
diventano:
2-4-8-16-32-64

ora ogni elevazione è multiplo di 4.
Quindi 16 x 16 x16 x16....
Ogni 6x6 =36
L' ultima cifra è sempre 6+6=12
Quindi è sempre 2.
Basta ridurre 2 a 2^2 che da 4 sono dunque tutte potenze di 16.
Semplicissimo se è così.

[Taniab]

in realtà l'ultima cifra può essere 2 oppure 0 a seconda che k sia dispari o pari, non è sempre 2...

[Icarocremisi]

scusami, in realtà non sapevo che uno dei multipli delle potenze di 2 ha come multiplo 0.

[Icarocremisi]

scusami ma non capisco, io vedo 8-16-32...
Che sono solo a partire da 8 equivalenti a 16 xA
A=numero pari.
4 come spunta che divisori sono?
Puoi farmi un esempio a parte il caso ^0 , ^1
che mi sembra di aver già dedotto.
Cioè parli seriamente?

[Taniab]

ad esempio se k=3 \( \displaystyle {{2}}^{{{{2}}^{{3}}}}+{6}={{2}}^{{6}}+{6}={64}+{6}={70} \) e quindi l'ultima cifra è 0

[Icarocremisi]

K=3
2^3=8
2^8=256
256+6=262
Perché moltiplichi e non elevi a potenza?

[GundamRX91]

in realtà l'ultima cifra può essere 2 oppure 0 a seconda che k sia dispari o pari, non è sempre 2...

Esatto, e la cosa si può verificare abbastanza agevolmente usando il teorema di Eulero-Fermat (sempre che non abbia sbagliato tutto )