Esercizio sulle congruenze lineari

[Gi8]

No, attenzione. Anche in \( \mathbb{Z}_4 \) hai questa proprietà, e \( \mathbb{Z}_4 \) non è un campo.
Però ad esempio in \( \mathbb{Z}_6 \) (l'hai mostrato tu) e in \( \mathbb{Z}_{34} \) non vale la proprietà

in \( \mathbb{Z}_{p} \) ( con \( p\) primo) hai che \( [a^2] =[a] \Leftrightarrow \left( [a]=[0] \vee [a]=[1] \right) \)

Sia \( \displaystyle {a}\in{\left\lbrace{0},{1},{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \). Abbiamo \( [a^2] =[a] \Leftrightarrow a\cdot (a-1) = k \cdot p\)

Tralasciamo i casi banali \( a=0 \vee a=1 \). Dunque \( \displaystyle {a}\in{\left\lbrace{2},\ldots,{p}-{1}\right\rbrace} \). Quindi \( \displaystyle {a}\cdot{\left({a}-{1}\right)}\gt{0} \)
Affinchè \( \displaystyle {a}\cdot{\left({a}-{1}\right)} \) sia multiplo di \( \displaystyle {p} \) deve accadere che uno tra \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {a}-{1} \) è multiplo di \( \displaystyle {p} \). Ma ciò non è possibile

[GundamRX91]

Ho capito! In effetti gli elementi di un campo \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}} \) non possono essere multipli di \( \displaystyle {p} \) quando è un numero primo, e tra l'altro mi sembra di capire che \( \displaystyle {a}\cdot{\left({a}-{1}\right)} \) sia sempre un numero pari, quindi non divisibile comunque per un numero primo (fatte salve le premesse sui casi banali).
Resta allora valido il ragionamento di taniab fatto sul primo post: \( \displaystyle {{\left[{a}\right]}}^{{2}}={\left[{a}\right]} \) che è equivalente a \( \displaystyle {{a}}^{{2}}\equiv{a}_{{\text{mod}{p}}} \) per \( \displaystyle {p} \) numero primo, è vero solo per \( \displaystyle {a}={0} \) e \( \displaystyle {a}={1} \).