Esercizio sulle congruenze lineari

[Taniab]

Ripropongo l'esercizio di prima come l'ho risolto io, potete dirmi se il ragionamento è giusto?
Allora l'esercizio diceva : "Determinare in \( \displaystyle {Z}_{{34}} \) tutti gli elementi a tale che \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={a} \)."
Io l'ho risolto imponendo
\( \displaystyle {\left[{{a}}^{{2}}\right]}_{{34}}={\left[{a}\right]}_{{34}} \)
\( \displaystyle {\left[{{a}}^{{2}}-{a}\right]}_{{34}}={\left[{0}\right]}_{{34}} \)
\( \displaystyle {{a}}^{{2}}-{a}\equiv{0}{\left(\text{mod}{34}\right)} \)
se ho \( \displaystyle {a}⋅{\left({a}−{1}\right)}\equiv{0}{\left(\text{mod}{34}\right)} \)posso sdoppiare in due congruenze: \( \displaystyle {a}\equiv{0}{\left(\text{mod}{34}\right)}{o}{\left({a}−{1}\right)}\equiv{0}{\left(\text{mod}{34}\right)} \)??
Se si pu fare le soluzioni sono \( \displaystyle {\left[{0}\right]}_{{34}} \) e \( \displaystyle {\left[{1}\right]}_{{34}} \).
Poi mi sono chiesta ... ma queste saranno le soluzioni in ogni \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) così ?

[GundamRX91]

Non ne sono sicuro ma credo di no. Prova con \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \), dove:

\( \displaystyle {{\left[{0}\right]}}^{{2}}={\left[{0}\right]} \), \( \displaystyle {{\left[{1}\right]}}^{{2}}={\left[{1}\right]} \), \( \displaystyle {{\left[{2}\right]}}^{{2}}={\left[{4}\right]} \), \( \displaystyle {{\left[{3}\right]}}^{{2}}={\left[{9}\right]}={\left[{3}\right]} \), \( \displaystyle {{\left[{4}\right]}}^{{2}}={\left[{16}\right]}={\left[{10}\right]}={\left[{4}\right]} \)... e qui non abbiamo la situazione da te prospettata.

[Gi8]

Confermo quanto detto da GundamRX91: prendi \( \displaystyle {a}={17} \)
hai che \( \displaystyle {a}{\left({a}-{1}\right)}={17}\cdot{16}={17}\cdot{2}\cdot{8}={34}\cdot{8} \), dunque \( \displaystyle {\left[{{17}}^{{2}}\right]}_{{{34}}}={\left[{17}\right]}_{{{34}}} \)

[Taniab]

Confermo quanto detto da GundamRX91: prendi \( \displaystyle {a}={17} \)
hai che \( \displaystyle {a}{\left({a}-{1}\right)}={17}\cdot{16}={17}\cdot{2}\cdot{8}={34}\cdot{8} \), dunque \( \displaystyle {\left[{{17}}^{{2}}\right]}_{{{34}}}={\left[{17}\right]}_{{{34}}} \)

Quindi per trovare anche le altre soluzioni cosa dovrei fare?Perchè con il metodo che ho pensato io ci sono solo \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle {1} \) come soluzione

[Taniab]

Tutto risolto! Ho usato un isomorfismo da \( \displaystyle {Z}_{{34}}\to{Z}_{{2}}{X}{Z}_{{17}} \)!

[GundamRX91]

Potresti indicarlo per favore?

[Taniab]

Ho trovato gli elementi che soddisfano questa proprietà nel prodotto diretto e poi ho realizzato un sistema di congruenze con questi elementi!

[GundamRX91]

Taniab scusami ma mi sto perdendo.

Per prodotto diretto hai fatto il prodotto cartesiano tra i due anelli \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}}\times\mathbb{Z}_{{17}} \) ? Cioè un insieme formato dalle coppie \( \displaystyle {\left\lbrace{\left({\left[{0}\right]}_{{2}},{\left[{0}\right]}_{{17}}\right)},{\left({\left[{0}\right]}_{{2}},{\left[{1}\right]}_{{17}}\right)},{\left({\left[{0}\right]}_{{2}},{\left[{2}\right]}_{{17}}\right)},\ldots,{\left({\left[{1}\right]}_{{2}},{\left[{0}\right]}_{{17}}\right)},{\left({\left[{1}\right]}_{{2}},{\left[{1}\right]}_{{17}}\right)},{\left({\left[{1}\right]}_{{2}},{\left[{2}\right]}_{{17}}\right)},\ldots\right\rbrace} \) ?
E di queste coppie hai preso quelle che soddisfano \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={a} \) ?

[Gi8]

@Gundam: tieni presente che in \( \mathbb{Z}_{p} \) ( con \( p\) primo) hai che \( [a^2] =[a] \Leftrightarrow \left( [a]=[0] \vee [a]=[1] \right) \) (perché?)

[GundamRX91]

Non so, al "volo" mi viene in mente che una differenza tra un anello e un campo è che quest'ultimo ammette inverso moltiplicativo per ogni suo elemento, ma non riesco a trovare il nesso con quanto hai enunciato (sempre che ci sia)....