Esercizio Teoria dei Gruppi

[richifenix]

Ciao a tutti,

Ho un problema con queto eercizio di teoria dei gruppi.

Per ogni intero a definiamo un gruppo Abeliano Ga dato dalla presentazione:

\(\displaystyle Ga = < x , y | (-2a^2 -a )x + (2a^2 +2a )y = (-a^2-a)x + (a^2 + a)y= 0> \)

Dire per quali a è ciclico!

Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto!

[richifenix]

nessuno riesce a darmi una mano

[Stickelberger]

Il gruppo additivo \( \displaystyle {G}_{{a}} \) e' ciclico se e solo se \( \displaystyle {a}=\pm{1} \).

Dim. Identificando \( \displaystyle {x} \) con \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)} \) e \( \displaystyle {y} \) con \( \displaystyle {\left({0},{1}\right)} \), il gruppo \( \displaystyle {G}_{{a}} \) e'
isomorfo al gruppo libero \( \displaystyle {Z}\times{Z} \) modulo il sottogruppo \( \displaystyle {H} \) generato
dai vettori \( \displaystyle {\left(-{2}{{a}}^{{2}}-{a},{2}{{a}}^{{2}}+{2}{a}\right)} \) e \( \displaystyle {\left(-{{a}}^{{2}}-{a},{{a}}^{{2}}+{a}\right)} \). E' facile vedere che
\( \displaystyle {H} \) e' anche generato da \( \displaystyle {\left({a},{0}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({0},{{a}}^{{2}}+{a}\right)} \). Questo implica che
\( \displaystyle {G}_{{a}} \) e' isomorfo a \( \displaystyle {Z} \)/\( \displaystyle {a}{Z}\times{Z} \)/\( \displaystyle {\left({{a}}^{{2}}+{a}\right)}{Z} \).

Se \( \displaystyle {a} \) e' divisibile per qualche primo \( \displaystyle {p} \), allora \( \displaystyle {G}_{{a}} \) ammette una
suriezione \( \displaystyle {G}_{{a}}\rightarrow{Z} \)/\( \displaystyle {p}{Z}\times{Z} \)/\( \displaystyle {p}{Z} \) e quindi non e' ciclico.
Invece, se \( \displaystyle {a}=\pm{1} \), il gruppo \( \displaystyle {G}_{{a}} \) e' isomorfo a \( \displaystyle {Z} \)/\( \displaystyle {\left({{a}}^{{2}}+{a}\right)}{Z} \).