Esercizio teorico di algebra lineare

[matefis]

Siano K un campo e X un K-spazio vettoriale. Si dimostrino le seguenti
asserzioni:
(i) Se X ha dimensione finita e f : X --> X è un endomorfismo tale che f o f è l'appli-
cazione nulla, allora l'endomorfismo g : X --> X definito ponendo g(x):= f(x) - x,
per ogni x appartenente a X, è un automorfismo di X, e si determini g^-1.
(ii) Se X ha dimensione 2 e f : X--> X è un endomorfismo di X che non sia la moltipli-
cazione per uno scalare, allora esiste un vettore x appartenente a X tale che {x,f(x)}
sia una base di X.

P.s.: mi sareste di grande aiuto...grazie mille anticipatamente!!

[Martino]

Mi hai scritto privatamente ma ti rispondo qui.

(i) Un suggerimento: rappresenta f con una matrice A (scelta una base) e rifletti sulla seguente espressione: \( \displaystyle (A-1)(A+1) \) .

(ii) Un suggerimento: scegli un x che non venga mandato in un suo multiplo (dimostra che esiste).