Esercizio trasformata di Laplace

[claudio_p88]

gugo grazie mille tutto chiarissimo, l'unica cosa che mi sfugge è quando scrivi C-iD e i relativi calcoli so che può sembrare una domanda banale, ma da dove esce fuori la i e perchè moltiplichi per 2 il successivo limite? ti ringrazio per la spiegazione precedente veramente chiara.

[gugo82]

Beh, è una questione un po' complicata.

Prendiamo una funzione razionale \(f(s):=P(s)/Q(s)\), con \(P,Q\) polinomi a coefficienti reali.
Supponiamo che nella scomposizione in fattori del polinomio a denominatore \(Q(s)\) compaia un polinomio \(\alpha s^2+\beta s+\gamma\) irriducibile sui reali, cioè con il \(\Delta <0\) ed avente dunque due radici complesse coniugate.
Chiamate \(s_0=\sigma_0+\imath\ \varsigma_0\) ed \(\bar{s}_0\) le due radici complesse coniugate di \(\alpha s^2+\beta s+\gamma\), si ha:
\[
\tag{0} \alpha s^2+\beta s+\gamma = \alpha (s-s_0)(s-\bar{s}_0) =\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]\ [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]\; .
\]
Nella decomposizione in fratti semplici di \(f(s)\) comparirà allora un fratto del tipo:
\[
\tag{1} \frac{C(s-\sigma_0)+D}{\alpha s^2+\beta s+\gamma}\; .
\]
Chiaramente, vista la fattorizzazione (0), al posto del fratto (1) puoi considerare (in maniera del tutto equivalente per i tuoi scopi) la somma di fratti "più semplici":
\[
\tag{2} \frac{c}{\alpha (s-s_0)} +\frac{d}{\alpha (s-\bar{s}_0)}
\]
in cui però appaiono dei polinomi a coefficienti complessi.
Fatta questa scelta, si dimostra che:
\[
\begin{split}
c &= \operatorname{Res} (f(z);s_0)\\
d &= \operatorname{Res} (f(z);\bar{s}_0)
\end{split}
\]
e da ciò segue immediatamente (facendo i conti decentemente) che \(d=\bar{c}\); quindi il fratto semplice (2) è determinato non appena si conosca \(\operatorname{Res} (f(z);s_0)\) ed in particolare si può riscrivere nella forma:
\[
\tag{3} \frac{c}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]} +\frac{\bar{c}}{\alpha [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}\; .
\]
Ma, d'altra parte, il fratto semplice (1) ha da coincidere con (3): quindi:
\[
\begin{split}
\frac{C(s-\sigma_0)+D}{\alpha s^2+\beta s+\gamma} &= \frac{c}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]} +\frac{\bar{c}}{\alpha [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}\\
&= \frac{(c+\bar{c})(s-\sigma_0) +\imath (c-\bar{c})\varsigma_0}{\alpha [(s-\sigma_0)-\imath\ \varsigma_0]\ [(s-\sigma_0)+\imath\ \varsigma_0]}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{cases}
C=c+\bar{c}=2\Re e\ \operatorname{Res}(f;s_0)\\
D=\imath\ \varsigma_0 (c-\bar{c})=-2\varsigma_0\ \Im m\ \operatorname{Res}(f;s_0)
\end{cases}
\]
ossia:
\[
C-\imath \frac{1}{\varsigma_0}D = 2\ \operatorname{Res}(f;s_0)\; .
\]
Nel tuo caso era \(s_0=\imath\), quindi \(\sigma_0=0,\ \varsigma_0=1\) e perciò la formula che ho usato.

Comunque trovi tutto spiegato un poco meglio in questi appuntini che ho scritto un po' di tempo fa.

[claudio_p88]

Se abitassi a Roma avresti il caffè pagato tutte le mattine, veramente utilissimo, grazie grazie e ancora grazie.