Esercizio trasformata di Laplace

[claudio_p88]

Allora ho il seguente esercizio da risolvere:
Usando la trasformata di Laplace, trovare \(\displaystyle y(t) \) che risolva per \(\displaystyle t \ge0 \) il seguente problema, ora queste tre equazioni sono messe a sistema:
\(\displaystyle y''(t) = y(t)\star t\)
\(\displaystyle y(0)=0 \)
\(\displaystyle y'(0)=1 \)
dove \(\displaystyle \star \) indica il prodotto di convoluzione.
La prima cosa che vorrei chiedere è se qualcuno mi sa spiegare in maniera semplice e se possibile con riferimento a questo esercizio che cos'è il prodotto di convoluzione grazie.

[gugo82]

qualcuno mi sa spiegare in maniera semplice e se possibile con riferimento a questo esercizio che cos'è il prodotto di convoluzione

Il libro che dice?

[claudio_p88]

allora se non erro \(\displaystyle y''(t) = s^2Y(s)-(sy(0)+\frac {dy(0)}{dt}) \) sostituendo i valori che ho nel sistema mi ritrovo
\(\displaystyle y''(t) =s^2Y(s)-1 \) ora sempre se non erro il prodotto di convoluzione è un prodotto in grado di calcolare la trasformata di una funzione non nota tramite il prodotto di due funzioni note più specificatamente
\(\displaystyle \int _{0}^{t} f(t-u)g(u)du\) per quanto riguarda quest'esercizio dovrei avere che la trasformata di \(\displaystyle y(t) = Y(s) \) e la trasformata di \(\displaystyle t = \int_{0}^\infty e^{-st}tdt \) risolvendo per parti quest'intgrale ottengo \(\displaystyle \frac{e^{-st}}{-s}|_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}=0 \) ditemi cortesemente se ci sono errori nei calcoli di quest'integrale, quindi la trasformata di Laplace di \(\displaystyle t=0 \) , ora i miei calcoli si interrompono perchè non riesco ad andare avanti cioè come faccio adesso ad applicare la formula?

[gugo82]

La trasformata di Laplace unilatera di \(f(t)=t\) è \(F(s)=\frac{1}{s^2}\), ricontrolla i conti che sono fatti male.

Dunque:
\[
\mathcal{L}[y\star f](s) = Y(s)\ F(s)=\frac{1}{s^2}\ Y(s)
\]
per il teorema sulla trasformata della convoluzione.

[claudio_p88]

mi hai preceduto di un secondo stavo appunto correggendo allora la trasformata di \(\displaystyle t \) è data da \(\displaystyle \int_{0}^\infty te^{-st}dt \)integrando per parti ottengo \(\displaystyle \frac{e^{-st}t}{-s}|_{0}^\infty+\frac{1}{s}\int_{0}^\infty e^{-st}dt \)risolvendo mi viene fuori \(\displaystyle \frac{1}{s^2} \) ora se faccio il prodotto con \(\displaystyle Y(s) \) ho che \(\displaystyle y''(t) = y(t)\star t=s^2Y(s)-1=\frac{Y(s)}{s^2} \)continuo i calcoli e vi aggiorno grazie gugo...

[claudio_p88]

ok, ora praticamente ho ottenuto \(\displaystyle Y(s) -1 = \frac{Y(s)}{s^2} \)risolvendo ottengo \(\displaystyle Y(s)= \frac{s^2}{s^4-1} \), ora però non so come procedere qualche suggerimento?

[ciampax]

Come calcoli di solito le antitrasformate? A "mano" (nel senso, attraverso le tabelle e le proprietà) oppure utilizzando la formula di inversione (che fa uso, sostanzialmente, di un integrale da svolgere con il Teorema dei residui)?

[claudio_p88]

credo si proceda tramite il calcolo dei residui, ma non so come

[claudio_p88]

Chi mi da una mano a calcolare l'antitrasformata attraverso la formula di inversione(usando il Teorema dei residui)non so proprio da dove cominciare...

[gugo82]

ok, ora praticamente ho ottenuto \(\displaystyle Y(s) -1 = \frac{Y(s)}{s^2} \)risolvendo ottengo \(\displaystyle Y(s)= \frac{s^2}{s^4-1} \), ora però non so come procedere qualche suggerimento?

Vogliamo calcolare:
\[
\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^4-1} \right](t)\; .
\]
Innanzitutto, decomponiamo l'argomento dell'antitrasformata in fratti semplici:
\[
\frac{s^2}{s^4-1} = \frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^2+1}
\]
ove:
\[
\begin{split}
A &=\operatorname{Res} \left( \frac{s^2}{s^4-1} ;1\right) \\
&= \lim_{s\to 1} \frac{s^2}{(s+1)(s^2+1)} \\
&= \frac{1}{4}\\
B &=\operatorname{Res} \left( \frac{s^2}{s^4-1} ; -1\right) \\
&= \lim_{s\to -1} \frac{s^2}{(s-1)(s^2+1)} \\
&= -\frac{1}{4}\\
C -\imath\ D& =2 \operatorname{Res} \left( \frac{s^2}{s^4-1} ; \imath \right)\\
&= 2\lim_{s\to \imath} \frac{s^2}{(s^2-1)(s+\imath)}\\
&= 2 \frac{-1}{2\imath (-2)}\\
&= \frac{1}{2\imath}\\
&= -\frac{1}{2}\imath
\end{split}
\]
sicché:
\[
\frac{s^2}{s^4-1} = \frac{1}{4(s-1)}-\frac{1}{4(s+1)}+\frac{1}{2(s^2+1)}\; .
\]
Sfruttando la linearità dell'antitrasformata e ricordando le trasformate elementari si trova:
\[
\begin{split}
\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^4-1} \right](t) &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{4(s-1)} \right](t) -\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{4(s+1)}\right] (t) +\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{2(s^2+1)}\right] (t)\\
&= \frac{1}{4} e^{t} \operatorname{u}(t) -\frac{1}{4} e^{-t} \operatorname{u}(t) +\frac{1}{2}\sin t\ \operatorname{u}(t)\\
&= \frac{1}{4} \left( e^t -e^{-t} +2\sin t\right)\ \operatorname{u}(t)\; ,
\end{split}
\]
ove \(\operatorname{u}(\cdot)\) è il gradino unitario.

Ovviamente, avremmo anche potuto tenere a mente che:
\[
\mathcal{L}[\sinh t](s) =\frac{1}{s^2-1}
\]
per procedere in quest'altra maniera:
\[
\begin{split}
\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2}{s^4-1} \right](t) &= \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{2(s^2-1)} \right](t) +\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{2(s^2+1)}\right] (t)\\
&= \frac{1}{2} \sinh t \operatorname{u}(t) +\frac{1}{2}\sin t\ \operatorname{u}(t)\\
&= \frac{1}{4} \left( \sinh t+\sin t\right)\ \operatorname{u}(t)\; .
\end{split}
\]