Esistenza di due limiti

[squalllionheart]

Ragazzi mi fate un esempio di spazio topologico che ammette limiti diversi.

[matths87]

Ti riporto l'esempio che mi è stato dato in un corso di base di topologia generale: considera lo spazio \( \displaystyle {X}_{{1}}=\mathbb{R} \), con la topologia naturale, e \( \displaystyle {X}_{{2}}=\mathbb{R} \), con la topologia i cui aperti sono le semirette destre. Allora \( \displaystyle {f{:}}{X}_{{1}}\to{X}_{{2}} \), data da \( \displaystyle {x}\mapsto{{x}}^{{2}} \) ammette infiniti limiti: \( \displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}{f{{\left({x}\right)}}}={a} \), con \( \displaystyle {a}\le{0} \).
In generale, l'unicità del limite non è garantita per spazi non di Haussdorf.

[squalllionheart]

Scusa potresti spiegarmi bene. A lezione non abbiamo definito il concetto di limite su spazi topologici, quindi non troppo chiaro il concetto.

[matths87]

Considera un generico \( \displaystyle {a}\le{0} \): per quanto detto sullo spazio topologico "di arrivo" (cioè l'insieme \( \displaystyle \mathbb{R} \) con la topologia delle semirette destre), i suoi intorni sono nella forma \( \displaystyle {\left[{a}-{r},\infty\right)} \) (chiaramente con \( \displaystyle {r}\gt{0} \)). Questi intorni contengono l'immagine tramite \( \displaystyle {f} \) di un intorno dello 0 dato nell'usuale topologia euclidea (che sarà nella forma \( \displaystyle {\left[-\epsilon,\epsilon\right]} \), per un \( \displaystyle \epsilon \) sufficientemente piccolo).

EDIT: vista la sua importanza, ti enuncio - in maniera informale - il seguente teorema (che probabilmente già conosci): condizione sufficiente per avere unicità del limite per \( \displaystyle {f{:}}{X}\to{Y} \) (\( \displaystyle {X},{Y} \) spazi topologici) è che \( \displaystyle {Y} \) sia di Haussdorf.

[Steven]

Un po' di precisione: non è molto corretto, squalllionheart, parlare di "spazi topologici che ammettono limite", semmai di successioni che ammettono limite etc.

Ad ogni modo, il concetto di limite per le successioni in spazio topologico, che non ti hanno definito a lezione, lo trovi sul Sernesi a pag17.

Per le funzioni, facendo uno sforzo di immaginazione direi che la definizione è questa:
data la funzione
\( \displaystyle {f{:}}{X}\to{Y} \) allora

\( \displaystyle \lim_{{{x}\to{x}_{{0}}}}{f{{\left({x}\right)}}}={y}_{{0}} \) se per ogni intorno \( \displaystyle {M}_{{{y}_{{0}}}}\subseteq{Y} \) di \( \displaystyle {y}_{{0}} \) esiste un altro intorno \( \displaystyle {N}_{{{x}_{{0}}}}\subseteq{X} \) di \( \displaystyle {x}_{{0}} \) tale che
\( \displaystyle {f{{\left({N}_{{{x}_{{0}}}}\right)}}}\subset{M}_{{{y}_{{0}}}} \)

Attendo eventuali correzioni.

[squalllionheart]

Ok. Allora vediamo se ho capito, leggendo sul Sernesi:
\( \displaystyle {\left\lbrace{x}_{{n}}\right\rbrace} \) converge a \( \displaystyle {x} \) se per ogni intorno \( \displaystyle {M}_{{x}} \) esiste un \( \displaystyle {n}{\left({M}\right)} \) tale che per ogni \( \displaystyle {n}\gt{n}{\left({M}\right)} \) allora \( \displaystyle {\left\lbrace{x}_{{n}}\right\rbrace} \) è tutta dentro \( \displaystyle {M} \).
Dunque in uno spazio banale ogni successione converge a ogni punto, perchè l'unico aperto non vuoto è tutto X.

[Steven]

Sì esatto, \( \displaystyle {X} \) è l'unico intorno possibile.