Estensione di isomorfismi per sottocampi

[angus89]

Credo che ciò sia vero ma non sono in grado di darne una dimostrazione, spero che qualcuno possa fornirmene una o a limite un controesempio

Sia \( \displaystyle {E} \) un campo a caratteristica zero, sia \( \displaystyle {K}\subset{E} \) un sottocampo.
Sia \( \displaystyle {f{:}}{K}\to{K} \) un isomorfismo.
Allora è possibile estendere l'isomorfismo a \( \displaystyle {E} \), ovvero è possibile estendere come \( \displaystyle {f{:}}{E}\to{E} \)

NB
L'isomorfismo è tale che \( \displaystyle {f{{\left({1}\right)}}}={1} \)
(meglio specificare, non si sa mai)

[Martino]

Se ti è noto che l'unico automorfismo di \( \displaystyle \mathbb{R} \) (come campo) è l'identità, ti basta osservare che ci sono due distinti automorfismi di \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left(\sqrt{{{2}}}\right)} \) per avere un controesempio.

[angus89]

Ok si mi son reso conto che mancano un pò di cose.
Se si aggiunge che \( \displaystyle {F} \) è un'estensione finita di \( \displaystyle {K} \)?

[Martino]

Interessante.

Io sono a conoscenza del seguente risultato:

Sia \( \displaystyle {M}\//{K} \) estensione di campi con gruppo di Galois \( \displaystyle {G} \), e sia \( \displaystyle {K}\le{L}\le{M} \) un intercampo stabile (cioè fissato - globalmente, non puntualmente - dai \( \displaystyle {K} \)-automorfismi di \( \displaystyle {M} \)). Sia \( \displaystyle {L}' \) il sottogruppo di \( \displaystyle {G} \) che consiste dei \( \displaystyle {K} \)-automorfismi di \( \displaystyle {M} \) che fissano puntualmente \( \displaystyle {L} \). Allora ogni \( \displaystyle {K} \)-automorfismo di \( \displaystyle {L} \) si estende ad \( \displaystyle {M} \) se e solo se \( \displaystyle {G}\//{L}'\stackrel{\sim}{=}{G}{a}{l}{\left({L}\//{K}\right)} \).

Naturalmente si prenderà \( \displaystyle {K}=\mathbb{Q} \). Questo suggerisce di cercare opportune estensioni non di Galois per un controesempio.

[angus89]

Mi scuso per prima, effettivamente avrei dovuto fare più attenzione, allora ho pensato di riformulare il problema partendo da una cosa vera

Sia \( \displaystyle {F}\subset{K}\subset{F} \)
Dove \( \displaystyle {E} \) è un'estensione di Galois su \( \displaystyle {F} \) e \( \displaystyle {K} \) è pure un'estensione di Galois su \( \displaystyle {F} \)

Allora il seguente omomorfismo è surgettivo

\( \displaystyle {F}:{A}{u}{t}{\left(\frac{{E}}{{F}}\right)}\to{A}{u}{t}{\left(\frac{{K}}{{F}}\right)} \)

Dove \( \displaystyle {F}{\left(\phi\right)}=\phi{\mid}_{{K}} \)

Notazione:
\( \displaystyle {A}{u}{t}{\left(\frac{{E}}{{F}}\right)} \) sono gli automorfismi di \( \displaystyle {E} \) che fissano \( \displaystyle {F} \)
\( \displaystyle {A}{u}{t}{\left(\frac{{k}}{{F}}\right)} \) sono gli automorfismi di \( \displaystyle {K} \) che fissano \( \displaystyle {F} \)
\( \displaystyle \phi{\mid}_{{K}} \) è la restrizione dell'isomorfismo a \( \displaystyle {K} \)

Questo fatto è vero, lo si è dimostrato in un corso di algebra.
La dimostrazione che ho si basa appunto sul fatto che è possibile estendere un isomorfismo da sottocampi a campi, quindi nelle ipotesi date è sicuramente vero, credo che sia vero anche togliendo l'ipotesi che \( \displaystyle {K} \) sia un'estensione di Galois su \( \displaystyle {F} \) (e in realtà a me interessa tanto quel caso).

Ad ogni modo spero che qualcuno possa aiutarmi, fornendomi ad esempio una dimostrazione di questo fatto.

edit: ho scritto il messaggio prima di leggere la risposta di Martino (abbiamo scritto nello stesso momento)
Ad ogni modo non conosco il risultato da te citato, anzi non mi è mai capitato di utilizzare campi intercalati che restano fissi globalmente ma non puntualmente...

[Martino]

Ad ogni modo non conosco il risultato da te citato, anzi non mi è mai capitato di utilizzare campi intercalati che restano fissi globalmente ma non puntualmente...

Molto improbabile, probabilmente tu li chiami in un modo diverso dal mio. Gli intercampi stabili sono di estrema importanza, non se ne può mai prescindere.

Comunque ho avuto un'improvvisa illuminazione: prendi \( \displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \) .

[angus89]

Allora, benissimo...
Il tuo controesempio è andato.

Per chiarezza espongo:
Consideriamo l'isomorfismo \( \displaystyle \phi\in{A}{u}{t}{\left\lbrace{Q}{\left(\sqrt{{{2}}}\right)}\right)} \) tale che \( \displaystyle \phi{\left(\sqrt{{{2}}}\right)}=-\sqrt{{{2}}} \) e con \( \displaystyle \phi{\mid}_{{Q}}={i}{d} \), ovvero tale isomorfimo muove solo la radice di 2 e lascia fisso tutto \( \displaystyle {Q} \)
Non è possibile estendere tale isomorfismo a \( \displaystyle {Q}{\left({\sqrt[{{4}}]{{{2}}}}\right)} \), infatti se lo fosse avremo
\( \displaystyle \phi{\left({\sqrt[{{4}}]{{{2}}}}\right)}={a}\cdot\sqrt{{{2}}}+{b}\cdot{\sqrt[{{4}}]{{{2}}}}+{c} \) con \( \displaystyle {a},{b},{c}\in{Q} \)
Elevando al quadrato, con semplici osservazioni si trova \( \displaystyle {{b}}^{{2}}=-{1} \) impossibile sui razionali.

[Martino]

Già Il motivo per cui questo funziona è sostanzialmente che l'estensione \( \displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q} \) non è di Galois, quindi esistono intercampi che non si comportano bene rispetto agli automorfismi.

[angus89]

Finalmente ho trovato il teorema a cui mi riferivo.
Per completezza lo espongo e qualora qualcuno la richiedesse posto la dimostrazione.
Tale teorema ha come corollario il teorema di isomorfismo dei campi di spezzamento, anzi è una sua generalizzazione.

TEOREMA DI ESTENSIONE AI CAMPI DI SPEZZAMENTO
siano \( \displaystyle {F} \) ed \( \displaystyle {F}' \) due campi e \( \displaystyle \phi:{F}\to{F}' \) un isomorfismo, sia \( \displaystyle \Phi:{F}{\left[{x}\right]}\to{F}{\left[{x}\right]} \) l'isomorfismo indotto da \( \displaystyle \phi \) sugli anelli dei polinomi. dato \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\in{F}{\left[{x}\right]} \) e il suo campo di spezzamento \( \displaystyle {E} \), e \( \displaystyle \Phi{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)} \) l'immagine di tale polinomio e \( \displaystyle {E}' \) il campo di spezzamento di questo polinomio. Allora esiste un isomorfismo \( \displaystyle {f{:}}{E}\to{E}' \) tale che \( \displaystyle {f}{\mid}_{{F}}=\phi \)

Notazione
\( \displaystyle \Phi:{F}{\left[{x}\right]}\to{F}{\left[{x}\right]} \), ovvero l'isomorfismo indotto da \( \displaystyle \phi \) è il seguente:
Se \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={a}_{{n}}\cdot{{x}}^{{n}}+{a}_{{n}}-{1}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}+\ldots+{a}_{{1}}\cdot{x}+{a}_{{0}} \)
allora la sua imagine
\( \displaystyle \Phi{\left({f{{\left({x}\right)}}}\right)}=\phi{\left({a}_{{n}}\right)}\cdot{{x}}^{{n}}+\phi{\left({a}_{{{n}-{1}}}\right)}\cdot{{a}}^{{{n}-{1}}}+\ldots+\phi{\left({a}_{{1}}\right)}\cdot{x}+\phi{\left({a}_{{0}}\right)} \)

E' chiaro che ponendo \( \displaystyle {F}={F}' \) abbiamo il caso da me esposto

[Martino]

Sì, se consideri campi di spezzamento puoi fabbricare le estensioni... questo si collega a quanto ho detto prima perché in caratteristica zero "estensione di Galois finita" e "campo di riducibilità completa" (="campo di spezzamento") sono la stessa cosa.