\[
g(x,y):=\frac{f(x,y)}{y}
\]
ammette estensione continua a tutto $RR^2$.
Questa è la prima parte di un problema di ammissione. In spoiler la mia soluzione. Qualcuno ha voglia di dare un'occhiata, per piacere? Grazie.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Anzitutto, osserviamo che $g(x,y)$ è ben definita e continua su $RR^{2} \setminus {y=0}$ in quanto rapporto di funzioni continue. Fissato $p \in \RR$, consideriamo il punto $(p,0)$ e scriviamo il polinomio di Taylor del primo ordine relativo a $f$ in $(p,0)$:
\[
P_f(x,y) = f(p,0) + \langle \nabla f(p,0), (x-p, y) \rangle = \langle \nabla f(p,0), (x-p, y) \rangle.
\]
Rapidi conti mostrano che
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(p,0) = \lim_{t \to 0}\frac{f(p+t,0)-f(p,0)}{t}=0
\]
in quanto il numeratore è identicamente nullo; analogamente,
\[\tag{1}
\frac{\partial f}{\partial y}(p,0) = \lim_{t \to 0}\frac{f(p,t)-f(p,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{f(p,t)}{t}
\]
che esiste finito poiché $f$ è di classe $C^1$.
Insomma, approssimando $f$ con il suo polinomio di Taylor abbiamo che per $y \to 0$
\[
g(x,y) = \frac{f(x,y)}{y} \simeq \frac{P_f(x,0)}{y} = \frac{f_y(x,0)y}{y} = f_y(x,0).
\]
Insomma, per farla breve
\[
\tilde{g}(x,y) =
\begin{cases}
g(x,y) & \text{ se } y \ne 0 \\
f_y(x,0) & \text{ altrimenti }
\end{cases}\]
è l'estensione continua cercata (la continuità segue dalla (1)).
\[
P_f(x,y) = f(p,0) + \langle \nabla f(p,0), (x-p, y) \rangle = \langle \nabla f(p,0), (x-p, y) \rangle.
\]
Rapidi conti mostrano che
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(p,0) = \lim_{t \to 0}\frac{f(p+t,0)-f(p,0)}{t}=0
\]
in quanto il numeratore è identicamente nullo; analogamente,
\[\tag{1}
\frac{\partial f}{\partial y}(p,0) = \lim_{t \to 0}\frac{f(p,t)-f(p,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{f(p,t)}{t}
\]
che esiste finito poiché $f$ è di classe $C^1$.
Insomma, approssimando $f$ con il suo polinomio di Taylor abbiamo che per $y \to 0$
\[
g(x,y) = \frac{f(x,y)}{y} \simeq \frac{P_f(x,0)}{y} = \frac{f_y(x,0)y}{y} = f_y(x,0).
\]
Insomma, per farla breve
\[
\tilde{g}(x,y) =
\begin{cases}
g(x,y) & \text{ se } y \ne 0 \\
f_y(x,0) & \text{ altrimenti }
\end{cases}\]
è l'estensione continua cercata (la continuità segue dalla (1)).
Che dite? Può andare fin qui?
Grazie.
?