Estensioni ciclotomiche

[ficus2002]

Sia \( \displaystyle {k} \) un campo e \( \displaystyle {k}' \) un'estensione finita e separabile di \( \displaystyle {k} \).
Allora \( \displaystyle {k}' \) è contenuto in un'estensione ciclotomica di \( \displaystyle {k} \)?
La risposta è si se \( \displaystyle {k} \) è un campo finito, quindi la domanda riguarda sopratutto il caso in cui \( \displaystyle {k} \) sia infinito.

La domanda mi è sorta leggendo il Corollario 7.51 di J.Milne dal quale sembrerebbe che ogni estensione finita e separabile di \( \displaystyle {k} \) è contenuta in un'estensione ottenuta da \( \displaystyle {k} \) con radici dell'unità.

[maurer]

La risposta è no. Il gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica è abeliano, mentre non tutti i gruppi di Galois sono abeliani (da \( \displaystyle k \subset F \subset L \) - tutte estensioni di Galois - con \( \displaystyle L/k \) ciclotomico, segue \( \displaystyle \text{Gal}(F,k) \unlhd \text{Gal}(L,k) \) e quindi \( \displaystyle \text{Gal}(F,k) \) sarebbe necessariamente abeliano). Esiste un bellissimo teorema, di Kronecker-Weber, che asserisce il viceversa: ogni estensione abeliana su \( \displaystyle \mathbb Q \) è contenuta in un'estensione ciclotomica. Tuttavia, non è facile da dimostrare!

[ficus2002]

La risposta è no. Il gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica è abeliano, mentre non tutti i gruppi di Galois sono abeliani (da \( \displaystyle k \subset F \subset L \) - tutte estensioni di Galois - con \( \displaystyle L/k \) ciclotomico, segue \( \displaystyle \text{Gal}(F,k) \unlhd \text{Gal}(L,k) \) e quindi \( \displaystyle \text{Gal}(F,k) \) sarebbe necessariamente abeliano). Esiste un bellissimo teorema, di Kronecker-Weber, che asserisce il viceversa: ogni estensione abeliana su \( \displaystyle \mathbb Q \) è contenuta in un'estensione ciclotomica. Tuttavia, non è facile da dimostrare!

Quindi pensi anche tu che nel corollario di Milne che ho citato manchi qualche ipotesi, per esempio \( \displaystyle {k} \) campo finito?