estrapolazione passaggio di taylor!

[blulaserstar]

salve ho estrapolato un passaggio del polinomio di taylor di cui non ne capisco lo sviluppo:
\( \displaystyle {P}{\left({x}{0}\right)}={f{{\left({x}{0}\right)}}}+{f{'}}{\left({x}{0}\right)}{\left({x}-{x}{0}\right)}+\frac{{{f{{''}}}{\left({x}{0}\right)}}}{{2}}{\left({x}-{x}{0}\right)} \)
\( \displaystyle {P}'{\left({x}{0}\right)}={f{'}}{\left({x}{0}\right)}+{\left(\frac{{{f{{''}}}{\left({x}{0}\right)}}}{{2}}\right)}{2}{\left({x}-{x}{0}\right)} \)
\( \displaystyle {P}{''}{\left({x}{0}\right)}={f{{''}}}{\left({x}{0}\right)} \)

perchè al \( \displaystyle {P}'{\left({x}{0}\right)} \) ho \( \displaystyle {f{'}}{\left({x}{0}\right)}+{\left(\frac{{{f{{''}}}{\left({x}{0}\right)}}}{{2}}\right)}{2}{\left({x}-{x}{0}\right)} \)? mi verrebbe da pensare che: \( \displaystyle {f{{\left({x}{0}\right)}}} \) sia stato eliminato che pure \( \displaystyle {\left({x}-{x}{0}\right)} \) sia stato tolto e per \( \displaystyle {f{{''}}} \) ho derivato solo \( \displaystyle {{\left({x}-{x}{0}\right)}}^{{2}} \) ma perchè si ha questo procedimento? io avrei proceduto in diverso modo ovvero:
\( \displaystyle {P}{\left({x}{0}\right)}={f{'}}{\left({x}{0}\right)}+{f{{''}}}{\left({x}{0}\right)}{\left({x}-{x}{0}\right)}+\frac{{{f{{'''}}}{\left({x}{0}\right)}}}{{2}}{\left({x}-{x}{0}\right)} \) ma mi sa che avrei sbagliato alla grande dove sbaglio? come funziona il sistema di derivate prima scritto?

[luca.barletta]

\( \displaystyle {P}{\left({x}{0}\right)}={f{{\left({x}{0}\right)}}}+{f{'}}{\left({x}{0}\right)}{\left({x}-{x}{0}\right)}+\frac{{{f{{''}}}{\left({x}{0}\right)}}}{{2}}{\left({x}-{x}{0}\right)} \)

dovrebbe essere invece \( \displaystyle {P}{\left({x}{0}\right)}={f{{\left({x}{0}\right)}}}+{f{'}}{\left({x}{0}\right)}{\left({x}-{x}{0}\right)}+\frac{{{f{{''}}}{\left({x}{0}\right)}}}{{2}}{{\left({x}-{x}{0}\right)}}^{{2}} \), da cui derivando successivamente rispetto a x trovi le altre due formule.